(2,0) Em uma avaliação de estatística, foi selecionada uma amostra de 12 alunos da turma A, resultando em uma média de 7,9 com desvio-padrão 0,6 . Na turma B, foram selecionados 15 alunos, os quais tiraram nota média 6,7 \mathrm{com} desvio-padrão 0,8 . As notas possuem distribuição normal e assume que as variâncias são iguais. Teste a hipótese de que a turma A tem média maior do que a turma B, com um nível de significância de 5 \%.

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes de alunos de turmas A e B com distribuição normal e variâncias iguais. Dos n_A=12 alunos da turma A obteve-se média \bar x_A=7{,}9 e desvio-padrão s_A=0{,}6. Dos n_B=15 alunos da turma B obteve-se média \bar x_B=6{,}7 e desvio-padrão s_B=0{,}8. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0{,}05,
H_0:\mu_A=\mu_B \quad\text{vs.}\quad H_1:\mu_A>\mu_B
usando o teste t para duas amostras independentes com variâncias iguais.

Passo 2

Definimos a estatística de teste
T \;=\;\frac{\bar x_A-\bar x_B}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}},
onde
s_p^2=\frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2}
é a variância agrupada.

Passo 3

Calculamos s_p^2:
s_p^2 =\frac{(12-1)\,0{,}6^2+(15-1)\,0{,}8^2}{12+15-2} =\frac{11\cdot0{,}36+14\cdot0{,}64}{25} =\frac{3{,}96+8{,}96}{25} =0{,}5168.
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s_p=\sqrt{0{,}5168}\approx0{,}719.

Passo 4

Calculamos T:
T =\frac{7{,}9-6{,}7}{0{,}719\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{1}{15}}} =\frac{1{,}2}{0{,}719\sqrt{0{,}0833+0{,}0667}} =\frac{1{,}2}{0{,}719\cdot0{,}3873} \approx4{,}31.

Passo 5

O grau de liberdade é df=12+15-2=25. Para \alpha=0{,}05 e teste unilateral à direita, o valor crítico é
t_{0{,}05,\,25}\approx1{,}708.
Como T\approx4{,}31>1{,}708, rejeitamos H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%. Há evidência de que a média da turma A é maior que a da turma B.

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