Q1. Encontre as equações do plano tangente e da reta normal (x-2)^{\wedge} 2+(y-1)^{\wedge} 2+ (z-3)^{\wedge} 2=10,(3,3,5)

Passo 1

O enunciado dá a superfície
(x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=10
que é uma esfera de centro (2,1,3) e raio \sqrt{10}. Precisamos achar, no ponto P=(3,3,5), a equação do plano tangente e da reta normal. Vamos usar o gradiente da função implícita para obter a normal à superfície.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=(x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2-10,
de modo que a superfície é F(x,y,z)=0. O vetor normal é o gradiente
\nabla F(x,y,z)=\bigl(2(x-2),\,2(y-1),\,2(z-3)\bigr).
Em P=(3,3,5) temos
\nabla F(3,3,5)=(2\cdot1,\,2\cdot2,\,2\cdot2)=(2,4,4).

Passo 3

O plano tangente em P obedece
\nabla F(3,3,5)\cdot\bigl((x,y,z)-(3,3,5)\bigr)=0,
ou seja
2(x-3)+4(y-3)+4(z-5)=0.
Expandindo e simplificando por 2,
x+2y+2z-19=0.

Passo 4

A reta normal em P passa por (3,3,5) e tem direção \nabla F(3,3,5)=(2,4,4). Em forma paramétrica:
\begin{cases} x=3+2t,\\\ y=3+4t,\\\ z=5+4t, \end{cases}
ou em forma simétrica:
\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-5}{4}.

Resposta

Plano tangente:
x+2y+2z-19=0.
Reta normal (forma simétrica):
\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-5}{4}.

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