Q2. Classifique os pontos críticos:
\begin{aligned} & f(x, y)=9-2 x+4 y-x^{\wedge} 2-4 y^{2} \\\ & f(x, y)=x^{3} y+12 x^{2}-8 y^{2} \\\ & f(x, y)=x e^{\wedge}\left(-2 x^{2}-2 y^{2}\right) \\\ & f(x, y)=x y+1 / x+1 / y \\\ & f(x, y)=e^{\wedge} x+\cos (y) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de cinco funções de duas variáveis. O conteúdo é derivadas parciais, gradiente para achar pontos críticos e matriz Hessiana para usar o teste de segunda derivada (determinante e sinal de f_{xx}) e decidir se é máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Para f(x,y)=9-2x+4y-x^{2}-4y^{2} calculamos
f_{x}=-2-2x,\quad f_{y}=4-8y.
Da condição \nabla f=(0,0) segue x=-1 e y=\tfrac12. A Hessiana é constante:
f_{xx}=-2,\quad f_{yy}=-8,\quad f_{xy}=0,
logo
D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(-2)(-8)-0=16>0
e como f_{xx}<0 concluímos que em (-1,\tfrac12) há um máximo local.

Passo 3

Para f(x,y)=x^{3}y+12x^{2}-8y^{2} temos
f_{x}=3x^{2}y+24x,\quad f_{y}=x^{3}-16y.
Resolvendo f_{x}=0 e f_{y}=0 surge o único ponto real (0,0). A Hessiana é
f_{xx}=6xy+24,\quad f_{yy}=-16,\quad f_{xy}=3x^{2},
avaliada em (0,0) f_{xx}=24, f_{yy}=-16, f_{xy}=0, então
D=24\cdot(-16)-0=-384<0,
indicando ponto de sela em (0,0).

Passo 4

Para f(x,y)=x\,e^{-2x^{2}-2y^{2}} calculamos
f_{x}=e^{-2r^{2}}\bigl(1-4x^{2}\bigr),\quad f_{y}=-4xy\,e^{-2r^{2}},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Da condição \nabla f=0 vêm x=\pm \tfrac12 e y=0. A Hessiana geral leva a
f_{xx}(x,0)=e^{-2x^{2}}(16x^{3}-12x),\quad f_{yy}(x,0)=-4x\,e^{-2x^{2}},\quad f_{xy}(x,0)=0.
Em (\tfrac12,0) obtém-se f_{xx}<0, D>0, logo é máximo local; em (-\,\tfrac12,0) obtém-se f_{xx}>0, D>0, logo é mínimo local.

Passo 5

Para f(x,y)=xy+\tfrac1x+\tfrac1y (com x\neq0, y\neq0),
f_{x}=y-\tfrac1{x^{2}},\quad f_{y}=x-\tfrac1{y^{2}}.
Da solução de f_{x}=0, f_{y}=0 vem o único ponto (1,1). A Hessiana é
f_{xx}=\tfrac{2}{x^{3}},\quad f_{yy}=\tfrac{2}{y^{3}},\quad f_{xy}=1,
e em (1,1) temos f_{xx}=2, f_{yy}=2, D=2\cdot2-1=3>0 e f_{xx}>0, caracterizando mínimo local.

Passo 6

Para f(x,y)=e^{x}+\cos(y) temos
f_{x}=e^{x}>0\quad\forall x,\quad f_{y}=-\sin(y).
Não existe x tal que f_{x}=0, logo não há pontos críticos nesta função.

Resposta

  1. f(x,y)=9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}: máximo local em \bigl(-1,\tfrac12\bigr).
  2. f(x,y)=x^{3}y+12x^{2}-8y^{2}: ponto de sela em (0,0).
  3. f(x,y)=x\,e^{-2x^{2}-2y^{2}}: máximo local em \bigl(\tfrac12,0\bigr) e mínimo local em \bigl(-\tfrac12,0\bigr).
  4. f(x,y)=xy+\tfrac1x+\tfrac1y: mínimo local em (1,1).
  5. f(x,y)=e^{x}+\cos(y): não há pontos críticos.

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