Q2. Classifique os pontos críticos:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de cinco funções de duas variáveis. O conteúdo é derivadas parciais, gradiente para achar pontos críticos e matriz Hessiana para usar o teste de segunda derivada (determinante e sinal de
) e decidir se é máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Para
calculamos
Da condição
segue
e
. A Hessiana é constante:
logo
e como
concluímos que em
há um máximo local.
Passo 3
Para
temos
Resolvendo
e
surge o único ponto real
. A Hessiana é
avaliada em
dá
,
,
, então
indicando ponto de sela em
.
Passo 4
Para
calculamos
Da condição
vêm
e
. A Hessiana geral leva a
Em
obtém-se
,
, logo é máximo local; em
obtém-se
,
, logo é mínimo local.
Passo 5
Para
(com
,
),
Da solução de
,
vem o único ponto
. A Hessiana é
e em
temos
,
,
e
, caracterizando mínimo local.
Passo 6
Para
temos
Não existe
tal que
, logo não há pontos críticos nesta função.
Resposta
-
: máximo local em . -
: ponto de sela em . -
: máximo local em e mínimo local em . -
: mínimo local em . -
: não há pontos críticos.