(\mathbf{2 , 5}) Uma empresa retira periodicamente amostras aleatórias de 500 peças de sua linha de produção para análise da qualidade. As peças da amostra são classificadas como defeituosas ou não, sendo que a política da empresa exige que o processo produtivo seja revisto se houver evidência de mais que 1,5 \% de peças defeituosas. Na última amostra, foram encontradas nove peças defeituosas.
a) (0,5) Formule as hipóteses adequadas;
b) (0,5) Qual é a estatística de teste e sua distribuição de probabilidade;
c) (0,5) Qual é a região crítica do teste, adotando \alpha=5 \% ?
d) (1,0) Qual é a decisão a ser tomada?

Passo 1

O enunciado trata de testar a proporção de peças defeituosas em um processo produtivo. Temos uma amostra de tamanho n=500 com X=9 peças defeituosas. A política exige revisar o processo caso haja evidência de mais de 1,5\% de defeituosos. Vamos usar um teste de hipótese para proporções, recorrendo à aproximação normal para a estatística de teste, pois n é grande.

Passo 2

Formulamos o teste unilaterai à direita, pois queremos detectar aumento na taxa de defeitos acima de 1,5\%. As hipóteses são
H_0:\;p = 0{,}015 \qquad\text{vs.}\qquad H_1:\;p > 0{,}015.

Passo 3

A estatística de teste baseada na proporção amostral \hat p = X/n é
Z \;=\; \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}} \;=\; \frac{\tfrac{X}{500}-0{,}015}{\sqrt{\dfrac{0{,}015\,(1-0{,}015)}{500}}}
e, sob H_0, temos aproximadamente
Z \;\sim\; N(0,1).

Passo 4

Para nível de significância \alpha=5\% num teste à direita, a região crítica é
Z > z_{1-\alpha} = z_{0{,}95} \approx 1{,}645.
Em termos de X, rejeitamos H_0 se
\frac{\tfrac{X}{500}-0{,}015}{\sqrt{\tfrac{0{,}015\cdot0{,}985}{500}}} > 1{,}645
ou, equivalente, se X\ge12 defeituosas (pois 11 Z\approx1{,}38<1{,}645 e 12 Z\approx1{,}81>1{,}645).

Passo 5

Calculando o valor observado
\hat p = \frac{9}{500}=0{,}018, \qquad Z_{\text{obs}}=\frac{0{,}018-0{,}015}{\sqrt{\tfrac{0{,}015\cdot0{,}985}{500}}}\approx0{,}55<1{,}645,
ou simplesmente observando que 9<12, não caímos na região crítica. Portanto, não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidência suficiente, a 5\%, para concluir que a proporção de peças defeituosas excede 1,5\%.

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