Verificar se a integral de linha do campo vetorial de forças \vec{F}=x y \hat{i}+\frac{x^{2}}{2} \hat{j} é independente do caminho, assumindo as seguintes trajetórias: (a) de (0,0) até (1,0) e depois até (1,2); (b) de ( 0,0 ) até ( 0,2 ) e depois até (1,2); (c) diretamente de (0,0) até (1,2), conforme mostra a figura 1.

Figura 1: Exercício 2.
(d) Este campo é conservativo?
Resposta: (d) Sim.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um campo vetorial \vec{F}(x,y)=x\,y\,\hat{i}+\tfrac{x^{2}}{2}\,\hat{j} e queremos calcular a integral de linha de \vec{F} de (0,0) até (1,2) segundo as trajetórias
(a) via (1,0),
(b) via (0,2) e
(c) reta direta,
e, por fim, verificar se o campo é conservativo.
Conteúdo: integrais de linha, campos conservativos e potencial escalar.

Passo 2

Verificamos se o campo é conservativo checando a igualdade das derivadas parciais de seus componentes:
\frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=x, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x^{2}}{2}\Bigr)=x.
Como ambas coincidem em todo o plano, \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a função potencial \varphi(x,y) satisfazendo \nabla\varphi=\vec{F}, integramos
\partial\varphi/\partial x=xy:
\varphi(x,y)=\int x\,y\,dx=\frac{x^{2}\,y}{2}+h(y).
Derivando em y e igualando a F_{y}=\tfrac{x^{2}}{2} obtemos h'(y)=0. Logo
\varphi(x,y)=\frac{x^{2}\,y}{2}+C.

Passo 4

Em qualquer caminho de (0,0) a (1,2), a integral de linha vale
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\varphi(1,2)-\varphi(0,0) =\frac{1^{2}\cdot2}{2}-0 =1.
Portanto as integrais ao longo das trajetórias (a), (b) e (c) são todas iguais a 1.

Resposta

(a) 1
(b) 1
(c) 1
(d) Sim. O campo é conservativo.

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