Em uma avaliação de Estatística, foi selecionada uma amostra de 12 alunos da turma A, resultando em uma média de 7,9 com desvio-padrão 0,6 . Na turma B, foram selecionados 15 alunos, os quais tiraram nota média 6,7 \mathrm{com} desvio-padrão 0,8 . As notas possuem distribuição normal e assume-se que \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}. Teste a hipótese de que a turma A tem média maior do que a turma B , com um nível de significância de 0,5 \%.

Passo 1

O enunciado traz duas amostras independentes de turmas com distribuição normal e variâncias supostas iguais. Na turma A temos n_1=12, \bar x_1=7,9 e s_1=0,6; na turma B, n_2=15, \bar x_2=6,7 e s_2=0,8. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,5\%, se a média da turma A é maior que a da turma B. O conteúdo é o teste t de duas amostras com variâncias iguais, usando variância poolada.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0: \mu_1 = \mu_2
H_1: \mu_1 > \mu_2
Como as variâncias são supostas iguais, usamos o estimador poolado
S_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}
com graus de liberdade \nu = n_1+n_2-2.

Passo 3

Calculando a variância poolada:
S_p^2 = \frac{11\cdot(0,6)^2 + 14\cdot(0,8)^2}{12+15-2} = \frac{11\cdot0,36 + 14\cdot0,64}{25} = \frac{3,96 + 8,96}{25} \approx 0,5168
Logo a estimativa de desvio-padrão poolado é
S_p = \sqrt{0,5168}\approx0,7189.

Passo 4

O estatístico de teste é
t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{S_p\sqrt{\tfrac1{n_1} + \tfrac1{n_2}}} = \frac{7,9 - 6,7}{0,7189\sqrt{\tfrac1{12} + \tfrac1{15}}} \approx \frac{1,2}{0,7189\sqrt{0,08333 + 0,06667}} \approx \frac{1,2}{0,2785} \approx 4,31.

Passo 5

Os graus de liberdade são \nu=12+15-2=25. Para \alpha=0,005 num teste unilateral, o ponto crítico é
t_{0,995;25}\approx2,787.
Como t=4,31>2,787, rejeitamos H_0 e aceitamos H_1.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 0,5\%. Há evidência estatística de que a média da turma A é maior que a da turma B.

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