O tempo de execução (minutos) de uma tarefa é testado em duas máquinas distintas. O teste conduzido considerou uma amostra n_{1}=5 para a máquina 1 e uma amostra n_{2}=7 para a máquina 2 . Os resultados dos testes são os seguintes: \overline{x_{1}}=97,4 ; s_{1}^{2}=78,8 e \overline{x_{2}}=110,0 ; s_{2}^{2}= 913,333 . Usando um nível de significância \alpha=0,10, verifique se o tempo médio de execução da tarefa na máquina 2 excede o tempo médio de execução na máquina 1 em 10 minutos. Assuma que as distribuições dos tempos são aproximadamente normais, com variâncias distintas.

Passo 1

O enunciado compara dois tempos médios de execução de uma tarefa em máquinas distintas, com amostras independentes de tamanhos n_{1}=5 e n_{2}=7. Temos \overline{x}_{1}=97,4, \;s_{1}^{2}=78,8, \overline{x}_{2}=110,0, \;s_{2}^{2}=913,333,
e queremos testar se a máquina 2 demora em média mais que a máquina 1 em 10 minutos, usando \alpha=0,10. As variâncias são desconhecidas e distintas, então usaremos o teste t de Welch para duas amostras.

Passo 2

Definimos as hipóteses:
H_{0}: \mu_{2}-\mu_{1}=10
H_{1}: \mu_{2}-\mu_{1}>10
é um teste unilateral à direita.

Passo 3

O estatístico de teste é
t = \frac{\bigl(\overline{x}_{2}-\overline{x}_{1}\bigr)-10} {\sqrt{\displaystyle \frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}}

Passo 4

Calculando numerador e denominador:
\overline{x}_{2}-\overline{x}_{1}=110,0-97,4=12,6
\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{78,8}{5}=15,76 \quad,\quad \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{913{,}333}{7}\approx130{,}476
\sqrt{15{,}76 +130{,}476}\approx\sqrt{146{,}236}\approx12{,}09
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t=\frac{12,6-10}{12,09}\approx\frac{2,6}{12,09}\approx0,215

Passo 5

Os graus de liberdade de Welch são
\nu \approx \frac{\bigl(\tfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\tfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\bigr)^{2}} {\displaystyle \frac{\bigl(\tfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}\bigr)^{2}}{n_{1}-1} + \frac{\bigl(\tfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\bigr)^{2}}{n_{2}-1} } \approx7,4

Passo 6

O valor crítico para \alpha=0,10 e \nu\approx7{,}4 num teste unilateral à direita é
t_{\mathrm{crítico}}\approx t_{0{,}90,\,7}\approx1,415í

Passo 7

Como t=0,215 < 1,415, não rejeitamos H_{0}. Não há evidência de que a máquina 2 exceda em mais de 10 minutos a máquina 1 ao nível \alpha=0{,}10.

Resposta

Não rejeita-se H_{0}: o tempo médio da máquina 2 não excede em mais de 10 minutos o da máquina 1.

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