Uma pesquisa avaliou a eficácia de dois tipos de treinamento, com a finalidade de reduzir o tempo médio de determinada tarefa. Foram selecionadas duas amostras aleatórias de populações com distribuição Normal, onde assume-se que \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2}. Os dados da pesquisa são dados abaixo:
Treinamento 1: n_{1}=15 ; \overline{x_{1}}=24,2 \mathrm{~min} ; s_{1}=3,16 \mathrm{~min}
Treinamento 2: n_{2}=10 ; \overline{x_{2}}=23,9 \mathrm{~min} ; s_{2}=4,47 \mathrm{~min}
Teste a hipótese de que o tempo médio para a realização da tarefa é igual para os dois treinamentos, ao nível de 5% de significância.

Passo 1

O enunciado apresenta duas amostras independentes extraídas de populações normais com variâncias desconhecidas e distintas, e pede para testar, ao nível de 5 % de significância,
H_0:\mu_1=\mu_2 \quad\text{versus}\quad H_1:\mu_1\neq \mu_2.
Os dados são:
– Treinamento 1: n_1=15, \overline{x}_1=24{,}2, s_1=3{,}16.
– Treinamento 2: n_2=10, \overline{x}_2=23{,}9, s_2=4{,}47.

Passo 2

Como as variâncias são diferentes, usamos o teste t de Welch, com estatística
t \;=\; \frac{\overline{x}_1 - \overline{x}_2} {\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} \;+\;\dfrac{s_2^2}{n_2}}}
e graus de liberdade aproximados por
\nu \;=\; \frac{\bigl(\tfrac{s_1^2}{n_1}+\tfrac{s_2^2}{n_2}\bigr)^2} {\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} \;+\;\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}.

Passo 3

Calculemos as variâncias amostrais e os termos dentro da raiz:
s_1^2 = (3{,}16)^2 = 9{,}9856,\quad s_2^2 = (4{,}47)^2 = 19{,}9809.
\frac{s_1^2}{n_1} = \frac{9{,}9856}{15}\approx0{,}6657, \quad \frac{s_2^2}{n_2} = \frac{19{,}9809}{10}\approx1{,}9981, \quad \sqrt{0{,}6657+1{,}9981}\approx1{,}6319.
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t = \frac{24{,}2 - 23{,}9}{1{,}6319}\approx 0{,}184.

Passo 4

Agora os graus de liberdade:
\nu = \frac{(0{,}6657+1{,}9981)^2} {\frac{0{,}6657^2}{14} + \frac{1{,}9981^2}{9}} = \frac{2{,}6638^2}{0{,}03166 + 0{,}4436} \approx \frac{7{,}0959}{0{,}4753} \approx 14{,}93\approx 15.

Passo 5

Para \alpha=0{,}05 e \nu\approx15, o valor crítico bilateral é
t_{0{,}975;\,15}\approx 2{,}131.
Como \lvert 0,184\rvert < 2,131, não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidências, ao nível de 5 % de significância, para afirmar diferença entre os tempos médios dos dois treinamentos.

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