Avaliação de Física I - Cinemática do movimento unidimensional e bidimensional
Quando necessário, considere:
Aceleração da gravidade
\mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
Raio da Terra
=6370 \mathrm{~km}
\operatorname{sen}\left(30^{\circ}\right)=0,5 e \cos \left(30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
Um projétil é atirado, fazendo um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal, de uma arma localizada a 45 m acima do solo com velocidade escalar de saída de 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Desprezando a resistência do ar:
a) Descreva o que acontece com o vetor aceleração durante a trajetória
b) Descreva o que acontece com as componentes do vetor velocidade durante a trajetória
c) Quanto tempo o projétil permanece no ar?
d) Determine a altura máxima atingida pelo projétil em relação ao solo.
e) A que distância horizontal ele atinge o solo?

Passo 1

No enunciado temos um projétil lançado a 30^\circ acima da horizontal com velocidade escalar de saída de 250\\ \mathrm{m/s} a partir de uma altura de 45\\ \mathrm{m}. O conteúdo é Cinemática bidimensional sob aceleração constante (gravidade). Para resolver vamos usar a descrição vetorial da aceleração, separar componentes do movimento, e aplicar as equações horárias para x e y.

Passo 2

A aceleração resultante é apenas a da gravidade, vertical e constante. Em componentes:
\vec{a}=(a_x,a_y)=(0,\,-g)=(0,\,-9,81\\ \mathrm{m/s^2}).

Passo 3

A componente horizontal da velocidade não muda com o tempo, e a vertical varia linearmente em função de t. Inicialmente:
v_{0x}=v_0\cos30^\circ,\quad v_{0y}=v_0\sin30^\circ.
Como \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=0,5,
v_{0x}=250\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx216{,}5\\ \mathrm{m/s},\quad v_{0y}=250\cdot0,5=125\\ \mathrm{m/s}.
Para t>0:
v_x(t)=v_{0x},\quad v_y(t)=v_{0y}-g\,t.

Passo 4

O tempo de voo total é o t que faz a altura y(t) retornar ao solo ( y=0). A equação é
y(t)=y_0+v_{0y}t-\tfrac12gt^2 =45+125\,t-4{,}905\,t^2.
Igualando a zero:
4{,}905\,t^2-125\,t-45=0.
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é
\Delta=125^2+4\cdot4{,}905\cdot45\approx16507{,}9,
t=\frac{125+\sqrt{16507{,}9}}{2\cdot4{,}905}\approx25{,}84\\ \mathrm{s}
(descartamos a raiz negativa).

Passo 5

A altura máxima ocorre quando v_y=0, ou seja:
t_{\text{subida}}=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{125}{9{,}81}\approx12{,}74\\ \mathrm{s}.
Substituindo em y(t):
y_{\max}=45+125\cdot12{,}74-\tfrac12\cdot9{,}81\cdot(12{,}74)^2\approx841{,}3\\ \mathrm{m}.

Passo 6

O alcance horizontal é
x(t_{\text{total}})=v_{0x}\,t_{\text{total}} =250\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot25{,}84\approx5595\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) A aceleração é constante e vertical para baixo, \vec{a}=(0,-9,81\\ \mathrm{m/s^2}) em toda a trajetória.
(b) A componente horizontal da velocidade permanece v_x=v_{0x}=250\cos30^\circ, e a vertical varia como v_y(t)=250\sin30^\circ -9,81\,t, diminuindo linearmente até inverter o sentido.
(c) t\approx25,84\\ \mathrm{s}.
(d) y_{\max}\approx841,3\\ \mathrm{m}.
(e) \text{Alcance}\approx5595\\ \mathrm{m}.

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