Um fóton de comprimento de onda \lambda=0,200 \mathrm{pm} é espalhado por um elétron livre que está inicialmente em repouso.
a) Qual será o ângulo de espalhamento para o qual a energia cinética do elétron que recua é igual a energia do fóton espalhado?
b) Suponha agora que o fóton espalhado faça uma colisão frontal com um elétron.
Qual será a variação do comprimento de onda desse fóton?
c) Qual será a energia perdida por este fóton?
d) Qual a energia cinética do elétron espalhado?

Passo 1

O enunciado trata de espalhamento Compton de um fóton de comprimento de onda inicial \lambda=0{,}200,pm por um elétron livre inicialmente em repouso; em (a) queremos o ângulo de espalhamento \theta tal que a energia cinética do elétron seja igual à energia do fóton espalhado. Em (b–d) esse fóton já espalhado colide frontalmente com um segundo elétron e calculamos a variação de comprimento de onda, a energia perdida pelo fóton e a energia cinética do elétron espalhado na segunda colisão. Para resolver vamos usar a fórmula do deslocamento Compton
\Delta \lambda \;=\;\lambda'-\lambda \;=\;\lambda_{c}\,\bigl(1-\cos\theta\bigr),
com \lambda_{c}=h/(m_e c)\approx2{,}426,pm, e as relações de conservação de energia.

Passo 2

No primeiro espalhamento, seja E_\gamma=hc/\lambda a energia inicial do fóton e E'_\gamma=hc/\lambda' a energia do fóton espalhado, e T a energia cinética do elétron. Da conservação de energia temos
T = E_\gamma - E'_\gamma.
A condição T=E'_\gamma implica
E'_\gamma = \frac{E_\gamma}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{hc}{\lambda'} = \frac{1}{2}\,\frac{hc}{\lambda} \quad\Longrightarrow\quad \lambda' = 2\,\lambda.
Aplicando a fórmula de Compton:
\lambda'-\lambda = \lambda_c\,(1-\cos\theta) \quad\Longrightarrow\quad 2\lambda - \lambda = \lambda_c\,(1-\cos\theta) \quad\Longrightarrow\quad 1-\cos\theta = \frac{\lambda}{\lambda_c}.
Logo
\cos\theta = 1 - \frac{\lambda}{\lambda_c} = 1 - \frac{0{,}200}{2{,}426} \approx 0{,}9175 \quad\Longrightarrow\quad \theta \approx \operatorname{arccos}(0{,}9175)\approx 23{,}7^\circ.

Passo 3

Na segunda colisão o fóton de comprimento de onda \lambda' = 2\lambda = 0{,}400,pm sofre espalhamento frontal ( \theta_2=180^\circ). O deslocamento de comprimento de onda é
\Delta\lambda_2 = \lambda_c\,(1-\cos180^\circ) = \lambda_c\,(1-(-1)) = 2\,\lambda_c \approx 2\times2{,}426\text{ pm}=4{,}852\text{ pm}.

Passo 4

A energia do fóton antes da segunda colisão é
E_1 = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{0{,}400\text{ pm}} \approx \frac{1240\text{ eV·nm}}{0{,}0004\text{ nm}} =3{,}10\times10^{6}\text{ eV}=3{,}10\text{ MeV},
e depois da colisão, com \lambda''=\lambda'+\Delta\lambda_2=0{,}400+4{,}852=5{,}252,pm,
E_2 = \frac{hc}{\lambda''} \approx \frac{1240\text{ eV·nm}}{0{,}005252\text{ nm}} =2,362\times10^{5}\text{ eV}=0{,}236\text{ MeV}.
Portanto a energia perdida pelo fóton é
\Delta E = E_1 - E_2 \approx 3{,}10\text{ MeV} - 0{,}236\text{ MeV} =2{,}864\text{ MeV}.

Passo 5

Na segunda colisão a energia cinética do elétron espalhado é exatamente a energia perdida pelo fóton. Logo
T_e = \Delta E \approx 2{,}864\text{ MeV}.

Resposta

(a) \theta \approx 23{,}7^\circ
(b) \Delta\lambda = 4{,}852,pm
(c) \Delta E \approx 2{,}864,MeV
(d) T_e \approx 2{,}864,MeV

Exercícios relacionados