Obtenha, usando os teoremas de Stokes e de Gauss, a forma diferencial das Equações de Maxwell.

Passo 1

O enunciado pede para transformar as equações integrais de Maxwell em suas formas diferenciais, usando o teorema da divergência (Gauss) e o teorema de Stokes. Vamos precisar de:
  1. As quatro formas integrais de Maxwell.
  2. O teorema da divergência:
\oint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}=\int_{V}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{F}\bigr)\,dV
  1. O teorema de Stokes:
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=\int_{S}\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)\cdot d\mathbf{A}

Passo 2

Aplicando o teorema da divergência à lei de Gauss para o campo elétrico em forma integral, que é
\oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}},
sabendo que a carga interna é
Q_{\mathrm{int}}=\int_{V}\rho\,dV,
temos
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{E}\,dV = \frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dV.
Como isso vale para qualquer volume V, igualamos os integrandos e obtemos
\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.

Passo 3

Ainda pelo teorema da divergência, aplicamos à lei de Gauss para o campo magnético em forma integral:
\oint_{\partial V}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} = 0.
Isso gera
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{B}\,dV = 0
e, como vale para todo V, concluímos
\nabla\cdot\mathbf{B} = 0.

Passo 4

Usando o teorema de Stokes na lei de Faraday da indução, que diz
\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A},
temos pela esquerda
\int_{S}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{A}
e pela direita, passando a derivada para dentro do integral de superfície,
-\int_{S}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}.
Igualando os integrandos em cada ponto de S, obtemos
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.

Passo 5

Finalmente, aplicamos Stokes à lei de Ampère–Maxwell em forma integral:
\oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}I_{\mathrm{int}} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
A corrente interna é
I_{\mathrm{int}} = \int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}.
Pela esquerda, o teorema de Stokes dá
\int_{S}(\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{A},
e pela direita
\mu_{0}\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A} \;+\;\mu_{0}\varepsilon_{0}\int_{S}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}.
Igualando integrandos ponto a ponto em S, resulta
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.

Resposta

As equações de Maxwell em forma diferencial são:
\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
\nabla\cdot\mathbf{B} = 0,
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.

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