Obtenha, usando os teoremas de Stokes e de Gauss, a forma diferencial das Equações de Maxwell.
Passo 1
O enunciado pede para transformar as equações integrais de Maxwell em suas formas diferenciais, usando o teorema da divergência (Gauss) e o teorema de Stokes. Vamos precisar de:
- As quatro formas integrais de Maxwell.
- O teorema da divergência:
- O teorema de Stokes:
Passo 2
Aplicando o teorema da divergência à lei de Gauss para o campo elétrico em forma integral, que é
sabendo que a carga interna é
temos
Como isso vale para qualquer volume
, igualamos os integrandos e obtemos
Passo 3
Ainda pelo teorema da divergência, aplicamos à lei de Gauss para o campo magnético em forma integral:
Isso gera
e, como vale para todo
, concluímos
Passo 4
Usando o teorema de Stokes na lei de Faraday da indução, que diz
temos pela esquerda
e pela direita, passando a derivada para dentro do integral de superfície,
Igualando os integrandos em cada ponto de
, obtemos
Passo 5
Finalmente, aplicamos Stokes à lei de Ampère–Maxwell em forma integral:
A corrente interna é
Pela esquerda, o teorema de Stokes dá
e pela direita
Igualando integrandos ponto a ponto em
, resulta
Resposta
As equações de Maxwell em forma diferencial são: