Em uma avaliação somativa de MPCVV, uma das questões propostas foi a seguinte:
Encontre o valor de para que a função a seguir seja contínua na origem.
Um estudante apresentou a seguinte solução:
(i) Como (0,0) pertence ao domínio de f, precisamos verificar se o limite de f quando (x, y) tende a (0,0) existe.
Avalie se o estudante resolveu corretamente, justificando a resolução de cada item indicado (i, ii, iii).
Passo 1
Avaliação do Item (i):
O estudante escreveu:
“(i) Como (0,0) pertence ao domínio de f, precisamos verificar se o limite de f quando (x, y) tende a (0,0) existe.”
Está correto? Sim, está no caminho certo!
Justificativa:
Para garantir que a função f(x, y) seja contínua na origem (0,0), realmente precisamos verificar se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) existe e é igual ao valor de f nesse ponto. O estudante identificou corretamente que a continuidade na origem depende da existência desse limite.
Teoria Aplicada:
A continuidade de uma função em um ponto em múltiplas variáveis exige que:
O ponto esteja no domínio da função.
O limite da função quando os pontos se aproximam desse ponto exista.
O limite seja igual ao valor da função nesse ponto.
O estudante abordou o segundo ponto, que é crucial para determinar a continuidade.
Passo 2
Avaliação do Item (ii):
Como o item (ii) não foi fornecido, vamos supor que o estudante tenha tentado calcular o limite.
Possível Continuação:
O estudante poderia ter calculado o limite de f(x, y) à medida que (x, y) (0,0) usando diferentes caminhos, como y = kx ou usando coordenadas polares.
Está correto? Depende da abordagem.
Justificativa:
Para determinar se o limite existe, é essencial verificar se ele é o mesmo ao se aproximar da origem por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, ele existe; caso contrário, não existe.
Teoria Aplicada:
Ao trabalhar com limites em múltiplas variáveis, demonstrar que o limite é consistente independentemente do caminho seguido é uma maneira eficaz de confirmar sua existência.
Passo 3
Avaliação do Item (iii):
Como o item (iii) não foi fornecido, vamos supor que o estudante tenha tentado igualar o limite a L para garantir a continuidade.
Possível Continuação:
Após calcular o limite, o estudante define L como sendo esse valor para que f(0,0) = L torne a função contínua na origem.
Está correto? Sim, se o limite foi calculado corretamente.
Justificativa:
Se o limite de f(x, y) conforme (x, y) (0,0) for, por exemplo, 0, então definir f(0,0) = 0 garante a continuidade da função naquele ponto.
Teoria Aplicada:
A condição de continuidade exige que o valor da função no ponto seja igual ao limite da função quando se aproxima desse ponto.
Resposta
O estudante iniciou corretamente o processo de verificação da continuidade da função na origem ao identificar a necessidade de calcular o limite de f(x, y) conforme (x, y) (0,0). Para uma avaliação completa, é importante que ele continue calculando esse limite utilizando diferentes caminhos e, se consistente, definir L igual a esse valor. Dessa forma, a função será contínua na origem.