Quanto menor a resistência à vazão dos vasos sanguíneos, menor a energia gasta pelo coração para bombear o sangue. De acordo com uma das leis de Poiseuille, a resistência à vasão em um vaso sanguíneo é dada pela expressão:
F(L, r)=k Lr^4
Onde L é o comprimento do vaso, r é o raio do vaso e k é uma constante que depende da viscosidade do sangue.
Calcule F, partial Fpartial L e partial Fpartial r para L=3,17 cm e r=0,085 cm. Descreva o significado de cada um.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a resistência à vazão nos vasos sanguíneos afeta a energia que o coração gasta para bombear sangue. O conteúdo principal aqui é a Lei de Poiseuille, que relaciona resistência, comprimento e raio dos vasos. Para resolver, vamos precisar calcular a resistência F usando a fórmula dada, e também as derivadas parciais de F em relação a L e r .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular F usando a fórmula:
F(L, r) = k Lr^4
Como não temos o valor de k , vamos manter F em termos de k .

Passo 3

Substituímos os valores dados na fórmula:
  • L = 3,17 cm
  • r = 0,085 cm
Então:
F = k times 3,17(0,085)^4

Passo 4

Agora, vamos calcular (0,085)^4 :
0,085^4 = 0,085 times 0,085 times 0,085 times 0,085 = 0,00005225

Passo 5

Substituímos de volta na fórmula de F :
F = 3,17k0,00005225 approx 60614,17k

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de F em relação a L :
partial Fpartial L = kr^4
Isso significa que a taxa de variação da resistência em relação ao comprimento é kr^4 .

Passo 7

Substituímos os valores de r :
partial Fpartial L = k0,00005225 approx 191600k

Passo 8

Em seguida, calculamos a derivada parcial de F em relação a r :
partial Fpartial r = -4k Lr^5
Aqui, a derivada nos mostra como a resistência muda com pequenas variações no raio.

Passo 9

Substituímos os valores de L e r :
partial Fpartial r = -4k times 3,170,085^5
Primeiro, calculamos 0,085^5 :
0,085^5 = 0,00000446
Então:
partial Fpartial r = -12,68k0,00000446 approx -2848758,87k

Resposta

Então, para L = 3,17 cm e r = 0,085 cm:
  • A resistência F é aproximadamente 60614,17k .
  • A derivada parcial partial Fpartial L é aproximadamente 191600k , indicando que a resistência aumenta em 191600k unidades para cada aumento de 1 cm no comprimento do vaso.
  • A derivada parcial partial Fpartial r é aproximadamente -2848758,87k , mostrando que a resistência diminui drasticamente à medida que o raio aumenta, especificamente 2848758,87k unidades para cada aumento de 1 cm no raio.

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