Encontre a área da região limitada pelas curvas. Faça o esboço das curvas e mostre um retângulo elementar:
y=2-x^2, y=-x R=9 / 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = 2 - x^2 e y = -x. Este é um problema de cálculo de área entre curvas, em que vamos usar a fórmula
A = integrala^b l(função superior - função inferiorr),dx çãçã
no intervalo determinado pelas interseções.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos as duas curvas:
2 - x^2 = -x
que leva à equação
x^2 - x - 2 = 0
As raízes são
x = 1 pm raiz1 + 82 = -1 e 2

Passo 3

Esboçando sem escala, a parábola y = 2 - x^2 tem vértice em (0,2) e abre para baixo, e a reta y = -x desce com inclinação -1. Elas se cruzam em (-1,1) e (2,-2). A região procurada está entre x=-1 e x=2, com a parábola acima da reta. Em uma abscissa genérica x nessa faixa, um retângulo elementar vertical tem largura dx e altura
De<a y = (superior) - (inferior) = (2 - x^2) - (-x)

Passo 4

A altura do retângulo elementar simplifica para
De<a y = 2 - x^2 + x,
logo a área de um elemento é
dA = De<a y,dx = (2 - x^2 + x),dx
Assim, a área total é
A = integral-1^2 l(2 - x^2 + xr),dx

Passo 5

Calculando a integral, achamos a antiderivada
2x - x^33 + x^22
Em x=2:
2cdot2 - 2^33 + 2^22 =4 - 83 + 2 =6 - 83 =103
Em x=-1:
2(-1) - (-1)^33 + (-1)^22 =-2 + 13 + 12 =-2 + 56 =-76
Portanto,
A = 103 - l(-tfrac76r) = 103 + 76 = 20 + 76 = 276 = 92

Resposta

92

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