Encontre a área da região limitada pelas curvas. Faça o esboço das curvas e mostre um retângulo elementar:
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
. Este é um problema de cálculo de área entre curvas, em que vamos usar a fórmula
no intervalo determinado pelas interseções.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, igualamos as duas curvas:
que leva à equação
As raízes são
Passo 3
Esboçando sem escala, a parábola
tem vértice em
e abre para baixo, e a reta
desce com inclinação
. Elas se cruzam em
e
. A região procurada está entre
e
, com a parábola acima da reta. Em uma abscissa genérica
nessa faixa, um retângulo elementar vertical tem largura
e altura
Passo 4
A altura do retângulo elementar simplifica para
logo a área de um elemento é
Assim, a área total é
Passo 5
Calculando a integral, achamos a antiderivada
Em
:
Em
:
Portanto,