Em uma avaliação somativa de MPCVV, uma das questões propostas foi a seguinte:
Encontre o valor de para que a função a seguir seja contínua na origem.
Um estudante apresentou a seguinte solução:
(iii) Desta forma, para f ser contínua L=cos (theta) sen(theta).
Avalie se o estudante resolveu corretamente, justificando a resolução de cada item indicado (i, ii, iii).
O estudante apresentou exatamente essa transformação, portanto o item (i) está correto.
Passo 3
(ii) Agora tomamos lim(x,y)to(0,0). Em coordenadas polares, isso equivale a rto0 com theta fixo, e a expressão
xyx^2+y^2
já não depende de r, mas apenas de theta. Logo
limrto0xyx^2+y^2 = costheta,sintheta
O estudante também obteve essa fórmula para o limite, de modo que o item (ii) está correto.
Passo 4
(iii) Para f ser contínua em (0,0), deveríamos ter
L = lim(x,y)to(0,0)xyx^2+y^2
independente de theta. Mas como esse limite é costheta,sintheta, que varia com theta, não existe valor único de L que satisfaça a continuidade. O estudante concluiu L=costheta,sintheta, o que é impossível para um L fixo. Portanto o item (iii) está errado: a conclusão correta é que não existeL que torne f contínua na origem.
Resposta
O estudante acertou (i) e (ii), mas errou (iii): não há valor de L que garanta continuidade de f em (0,0).