Em uma avaliação somativa de MPCVV, uma das questões propostas foi a seguinte:
Encontre o valor de L para que a função a seguir seja contínua na origem.
f(x, y)= & x yx^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) & L se (x, y)=(0,0)
Um estudante apresentou a seguinte solução:
(iii) Desta forma, para f ser contínua L=cos (theta) sen(theta).
Avalie se o estudante resolveu corretamente, justificando a resolução de cada item indicado (i, ii, iii).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracxyx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[1ex] L,&(x,y)=(0,0),
e pede o valor de L para que f seja contínua em (0,0). O conteúdo principal aqui é limite em várias variáveis e continuidade: devemos verificar se
lim(x,y)to(0,0)xyx^2+y^2
existe e, se existir, igualar esse valor a L.]

Passo 2

(i) Mudança para coordenadas polares: escrevemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com r>0. Então, para (x,y)neq(0,0),
xyx^2+y^2 = (rcostheta)(rsintheta)r^2cos^2theta+r^2sin^2theta = r^2costhetasinthetar^2 = costheta,sintheta
O estudante apresentou exatamente essa transformação, portanto o item (i) está correto.

Passo 3

(ii) Agora tomamos lim(x,y)to(0,0). Em coordenadas polares, isso equivale a rto0 com theta fixo, e a expressão
xyx^2+y^2
já não depende de r, mas apenas de theta. Logo
limrto0xyx^2+y^2 = costheta,sintheta
O estudante também obteve essa fórmula para o limite, de modo que o item (ii) está correto.

Passo 4

(iii) Para f ser contínua em (0,0), deveríamos ter
L = lim(x,y)to(0,0)xyx^2+y^2
independente de theta. Mas como esse limite é costheta,sintheta, que varia com theta, não existe valor único de L que satisfaça a continuidade. O estudante concluiu L=costheta,sintheta, o que é impossível para um L fixo. Portanto o item (iii) está errado: a conclusão correta é que não existe L que torne f contínua na origem.

Resposta

O estudante acertou (i) e (ii), mas errou (iii): não há valor de L que garanta continuidade de f em (0,0).

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