Em uma avaliação somativa de MPCVV, uma das questões propostas foi a seguinte:
Encontre o valor de L para que a função a seguir seja contínua na origem.
f(x, y)= & x yx^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) & L se (x, y)=(0,0)
Um estudante apresentou a seguinte solução:
(i) Como (0,0) pertence ao domínio de f, precisamos verificar se o limite de f quando (x, y) tende a (0,0) existe.
(iii) Para isso, resolveremos o limite por coordenadas polares, ou seja, x=r cos (theta) e y=r sen(theta). Reescrevendo o limite, obtemos:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2=lim r 0 r cos (theta) r sen(theta)r^2 cos ^2(theta)+r^2 sen^2(theta)=lim r 0 cos (theta) sen(theta)=cos (theta) sen(theta)
Com isso, podemos concluir que lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2=cos (theta) sen(theta).
(iii) Desta forma, para f ser contínua L=cos (theta) sen(theta).
Avalie se o estudante resolveu corretamente, justificando a resolução de cada item indicado (i, ii, iii).
(i)

Passo 1

O estudante afirma que, como (0,0) pertence ao domínio de f, para analisar a continuidade em (0,0) precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe.

Passo 2

Pela definição de continuidade em um ponto, é preciso que
  1. f(0,0) esteja definido (aqui vale f(0,0)=L), e
  2. o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) exista e seja igual a f(0,0).
Portanto, identificar a necessidade de calcular e confirmar a existência desse limite é exatamente o primeiro passo correto para estudar a continuidade em (0,0).

Resposta

O item (i) está correto: o estudante apontou corretamente que, por (0,0) pertencer ao domínio, o passo seguinte é verificar se o limite existe.

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