Determine os traços, esboce as superfícies e identifique-as:
x^2+y^2=4

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a superfície definida por
x^2+y^2=4
Isso envolve traçar suas interseções (traços) com planos do tipo z=constante, x=constante e y=constante, esboçar o formato geral da superfície e finalmente identificá-la dentro da família das quádricas.

Passo 2

Traços com planos z=k.
Se fixamos z=k, a equação não muda, fica
x^2+y^2=4,
que é sempre a circunferência de raio 2 centrada na origem do plano xy. Logo, para todo kinR, o traço em z=k é
(x,y,k)mid x^2+y^2=4,
ou seja, círculos paralelos ao plano xy.

Passo 3

Traços com planos x=k.
Se fixamos x=k, a equação vira
y^2=4-k^2
  1. Se lvert krvert>2, não há solução real (traço vazio).
  2. Se lvert krvert=2, então y=0 — um ponto no eixo y.
  3. Se lvert krvert<2, então
y=pmraiz4-k^2,
ou seja, duas retas horizontais no plano x=k, com y constante.

Passo 4

Traços com planos y=k.
Analogamente, fixando y=k obtemos
x^2=4-k^2,
com o mesmo comportamento: vazio se lvert krvert>2, ponto se lvert krvert=2 e duas retas verticais se lvert krvert<2.

Passo 5

Esboço da superfície.
Como todo plano z=k corta em círculos de raio 2 e ela não depende de z, a superfície é um “canudo” infinito, com seção transversal circular de raio 2 no plano xy. Graficamente, é um cilindro circular reto cujo eixo é o eixo z.

Resposta

A superfície é um cilindro circular reto de raio 2 cujo eixo coincide com o eixo z.

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