Determine os traços, esboce as superfícies e identifique-as:
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a superfície definida por
Isso envolve traçar suas interseções (traços) com planos do tipo
,
e
, esboçar o formato geral da superfície e finalmente identificá-la dentro da família das quádricas.
Passo 2
Traços com planos
.
Se fixamos , a equação não muda, fica
Se fixamos
que é sempre a circunferência de raio
centrada na origem do plano
. Logo, para todo
, o traço em
é
ou seja, círculos paralelos ao plano
.
Passo 3
Traços com planos
.
Se fixamos , a equação vira
Se fixamos
- Se
, não há solução real (traço vazio). - Se
, então — um ponto no eixo . - Se
, então
ou seja, duas retas horizontais no plano
, com
constante.
Passo 4
Traços com planos
.
Analogamente, fixando obtemos
Analogamente, fixando
com o mesmo comportamento: vazio se
, ponto se
e duas retas verticais se
.
Passo 5
Esboço da superfície.
Como todo plano corta em círculos de raio
e ela não depende de
, a superfície é um “canudo” infinito, com seção transversal circular de raio
no plano
. Graficamente, é um cilindro circular reto cujo eixo é o eixo
.
Como todo plano
Resposta
A superfície é um cilindro circular reto de raio
cujo eixo coincide com o eixo
.