Use mudança de variáveis para resolver as equações abaixo, para x in R.
3 raiz[4]x-2 raizx-1=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a equação com radicais
3raiz[4]x-2raizx-1=0
Como aparecem raiz[4]x e raizx, vamos usar substituições em cadeia para eliminar gradualmente as raízes. Note que, para os radicais estarem definidos, precisamos ter x>=0.

Passo 2

Definimos
y = raizx,
de modo que y>=0 e
raiz[4]x = raizraizx = raizy
A equação original fica então
3raizy - 2y - 1 = 0

Passo 3

Para tirar agora a raiz raizy, fazemos a segunda substituição
z = raizy,
então z>=0 e y = z^2. Substituindo em
3raizy - 2y - 1 = 0
vem
3z - 2z^2 - 1 = 0

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão,
-2z^2 + 3z - 1 = 0 Long<=ftrightarrow 2z^2 - 3z + 1 = 0
O discriminante é
De<a = (-3)^2 - 4cdot 2cdot 1 = 9 - 8 = 1,
logo as raízes são
z = 3 pm raiz12cdot 2 = 3 pm 14,
isto é
,z1 = 1 e ,z2 = tfrac12. Ambas satisfazem z>=0.

Passo 5

Voltando à variável y, como y = z^2, temos
y1 = 1^2 = 1, y2 = l(tfrac12r)^2 = tfrac14
Ambos são não negativos, então válidos para y=raizx.

Passo 6

Por fim, retornamos a x via y = raizx, ou seja x = y^2. Assim
x1 = 1^2 = 1, x2 = l(tfrac14r)^2 = tfrac116
Ambos são >=0, logo entram no domínio original.

Resposta

As soluções em R são
x = 1 e x = 116

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