Use o método da decomposição em frações parciais para resolver as integrais definidas abaixo.
integral x^5+9 x^3+1x^3+9 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral x^5 + 9x^3 + 1x^3 + 9x,dx
usando decomposição em frações parciais. Para isso, vamos primeiro fazer a divisão de polinômios (porque o grau do numerador é maior que o do denominador) e depois decompor a parte fracionária em termos simples.

Passo 2

Fazemos a divisão de
;x^5+9x^3+1 por ;x^3+9x.
O quociente é ;x^2, pois
x^2,(x^3+9x)=x^5+9x^3,
e o resto é ;1.
Logo,
x^5+9x^3+1x^3+9x = x^2 ;+;1x^3+9x = x^2 ;+;1x(x^2+9)

Passo 3

Agora decompondo
1x(x^2+9) em
1x(x^2+9) = Ax + Bx + Cx^2+9
Multiplicando ambos os lados por x(x^2+9), obtemos
1 = A(x^2+9) + (Bx+C),x = (A+B)x^2 + Cx + 9A

Passo 4

Igualando coeficientes em
Dessa forma e . Então

Passo 5

Reescrevendo a integral original e integrando termo a termo:
integral x^5+9x^3+1x^3+9x,dx = integral x^2,dx + integral l(19x - x9(x^2+9)r),dx
Calculando cada parte:
integral x^2,dx = x^33, integral 19x,dx = 19lnlvert xrvert,
integral xx^2+9,dx fazendo u=x^2+9,;du=2x,dx Rightarrow integral xx^2+9,dx = 12ln(x^2+9)
Portanto
integral l(-x9(x^2+9)r),dx = -19cdot12ln(x^2+9) = -118ln(x^2+9)

Resposta

boxed integral x^5+9x^3+1x^3+9x,dx = x^33 + 19lnlvert xrvert - 118lnl(x^2+9r) + C

Exercícios relacionados