Em uma avaliação somativa de MPCVV, uma das questões propostas foi a seguinte:
Encontre o valor de L para que a função a seguir seja contínua na origem.
f(x, y)= & x yx^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) & L se (x, y)=(0,0)
Um estudante apresentou a seguinte solução:
(i) Como (0,0) pertence ao domínio de f, precisamos verificar se o limite de f quando (x, y) tende a (0,0) existe.
(iii) Para isso, resolveremos o limite por coordenadas polares, ou seja, x=r cos (theta) e y=r sen(theta). Reescrevendo o limite, obtemos:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2=lim r 0 r cos (theta) r sen(theta)r^2 cos ^2(theta)+r^2 sen^2(theta)=lim r 0 cos (theta) sen(theta)=cos (theta) sen(theta)
Com isso, podemos concluir que lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2=cos (theta) sen(theta).
(iii) Desta forma, para f ser contínua L=cos (theta) sen(theta).
Avalie se o estudante resolveu corretamente, justificando a resolução de cada item indicado (i, ii, iii).
(iii)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
seja contínua na origem. O conteúdo envolvido é continuidade de função de duas variáveis e cálculo de limite no ponto ser contínua em precisamos que
exista e seja igual a .]

Passo 2

Item (i): “Como (0,0) pertence ao domínio de f, precisamos verificar se o limite de f quando (x,y)to(0,0) existe.”
Essa afirmação está correta como critério: para um ponto interior do domínio, a continuidade exige exatamente que o limite coincida com o valor da função ali. O estudante podia ter escrito “e que esse limite seja igual a L”, mas o objetivo de (i) é justamente identificar essa necessidade.

Passo 3

Item (ii): No enunciado original havia um item (ii) a avaliar, mas o estudante foi diretamente de (i) para (iii), pulando (ii). Isso mostra desatenção: ele não checou explicitamente a condição “limite igual a L”. Logo, o item (ii) foi omitido, comprometendo a completude da solução.

Passo 4

Item (iii): o estudante usa coordenadas polares
x=rcostheta, y=rsintheta
e obtém
xyx^2+y^2 =rcostheta;rsinthetar^2(cos^2theta+sin^2theta) =costheta;sintheta
Até aqui o cálculo está correto: f(r,theta)=costhetasintheta independe de r. Contudo, ele conclui que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=costhetasintheta
e então “para f ser contínua L=costhetasintheta”. Isso é incorreto, pois um limite só existe se for o mesmo para todo theta. Aqui ele depende de theta, logo não existe
lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Portanto não há escolha de L que torne f contínua.

Resposta

O estudante procedeu bem em (i), mas pulou (ii) e interpretou mal o resultado de (iii). Como o limite depende de theta, ele não existe, e logo não há valor de L que deixe f contínua na origem.

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