UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias I
Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime+4 y=2 sen(2 t)+t (Sugestão: use o principio de superposição).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 2,sen(2t) + t,
usando o princípio de superposição. Vamos, primeiro, encontrar a solução geral yh da homogênea associada e depois uma solução particular yp como soma de duas partes, uma para o termo 2,sen(2t) e outra para o termo polinomial t.

Passo 2

Resolvemos a homogênea
y'' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4 = 0 Longrightarrow r = pm 2i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Procuramos yp1 que anule o operador linear quando a força for 2,sen(2t). Como sen(2t) faz parte da homogênea (ressonância), tentamos
yp1(t) = A,tcos(2t) + B,tsin(2t)
Calculando L[y]=y''+4y e igualando a 2sen(2t), obtemos ao final:
A = -tfrac12, B = 0,
portanto
yp1(t) = -12,tcos(2t)

Passo 4

Agora achamos yp2 para o termo polinomial t. Como não há ressonância com raízes complexas, escolhemos
yp2(t) = Ct + D
Neste caso y''p2=0, então
L[yp2] = 0 + 4(Ct + D) = 4C,t + 4D
deve ser igual a t. Daí
4C=1 Longrightarrow C=tfrac14, 4D=0 Longrightarrow D=0,
logo
yp2(t) = 14,t

Passo 5

Pela superposição, a solução particular completa é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = -12,tcos(2t) + 14,t

Passo 6

Finalmente, a solução geral da equação dada é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) ;-;12,tcos(2t) + 14,t

Resposta

boxedy(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) ;-;12,tcos(2t) + 14,t

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