UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias I
Encontre a solução geral das equações:
(Sugestão: use o principio de superposição).
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias I
Encontre a solução geral das equações:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o princípio de superposição. Vamos, primeiro, encontrar a solução geral
da homogênea associada e depois uma solução particular
como soma de duas partes, uma para o termo
e outra para o termo polinomial
.
Passo 2
Resolvemos a homogênea
A equação característica é
Logo a solução geral da homogênea é
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Procuramos
que anule o operador linear quando a força for
. Como
faz parte da homogênea (ressonância), tentamos
Calculando
e igualando a
, obtemos ao final:
portanto
Passo 4
Agora achamos
para o termo polinomial
. Como não há ressonância com raízes complexas, escolhemos
Neste caso
, então
deve ser igual a
. Daí
logo
Passo 5
Pela superposição, a solução particular completa é
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação dada é