UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias I
Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime+y=cossec(t);

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação não homogênea de segunda ordem
y'' + y = csc(t)
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear com coeficientes constantes e termo não homogêneo csc(t). Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = pm i. Logo, a solução homogênea é
yh(t) = C1cos t + C2sin t,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp de
y'' + y = csc(t),
vamos usar variação de parâmetros. Tomamos as soluções fundamentais y1=cos t e y2=sin t. O Wronskiano é
W = cos t & sin t -sin t & cos t = cos^2 t + sin^2 t = 1
A fórmula de variação de parâmetros dá
yp = -y1integral y2,csc(t)W,dt + y2integral y1,csc(t)W,dt

Passo 4

Calcular as integrais:
integral y2,csc(t),dt = integral sin tcdot 1sin t,dt = integral 1,dt = t,
integral y1,csc(t),dt = integral cos tcdot 1sin t,dt = integral cot t,dt = lnl|sin tr|
Substituindo em yp:
yp = -cos t,(t) + sin t,l(ln|sin t|r) = -tcos t + sin tln|sin t|

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos t + C2sin t ;-; tcos t ;+; sin tlnl|sin tr|

Resposta

y(t) = C1cos t + C2sin t - tcos t + sin tlnl|sin tr|

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