Avaliaçāo 1^a Unidade - (2020.1)
Instruçöes:
  1. A interpretação faz parte da avaliação;
  2. O tempo de resoluçâo e entrega da prova é de 02 horas e 10 min ;
  3. Todas as questöes devem possuir respostas justificadas;
  4. Utilize caneta preta ou azul;
  5. Soluçâo ilegivel será considerada como errada;
    Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por:
V(x, y)=80-20 x e^-x^4+y20 em vo
determine a taxa de variação do potencial na direçâo do vetor (1, 1).

Passo 1

A questão dá o potencial numa lâmina plana \ V(x,y)=80-20x e^-x^4+y20 e pede a derivada direcional na direção do vetor (1,1). O conteúdo é derivada direcional, e vamos precisar do gradiente de V e do vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Primeiro, definimos \ f(x,y)=x^4+y20 \ para escrever V(x,y)=80-20x e^-f(x,y). Agora calculamos as derivadas parciais. Para x: \ partial Vpartial x=ddxl(-20x e^-fr)=-20e^-f+(-20x)(-e^-ffx) \ Como \ fx=4x^320=x^35, \ temos \ partial Vpartial x=-20e^-f+20x e^-fx^35=(4x^4-20)e^-f \ Para y: \ partial Vpartial y=-20x(-e^-ffy), fy=120, \ logo \ partial Vpartial y=x e^-f

Passo 3

O vetor (1,1) tem norma raiz1^2+1^2=raiz2, então o vetor unitário é \ u=(1,1)raiz2

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e u: \ DuV=nabla Vcdotu=1raiz2l(partial Vpartial x+partial Vpartial yr) =1raiz2l((4x^4-20)e^-f+x e^-fr) \ Simplificando, \ DuV=(4x^4-20+x)e^-x^4+y20raiz2

Resposta

D(1,1)V(x,y)=(4x^4-20+x)e^-x^4+y20raiz2.

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