Um avaliador do governo calcula que sua capacidade de estimar custos de projetos tem distribuição normal em torno do custo verdadeiro, com desvio padrão de 10.000 reais. Em tal caso, em que porcentagem das vezes sua estimativa estará:
a) em torno de 15.000 reais do verdadeiro custo.

Passo 1

O enunciado diz que o erro \,X, da estimativa em relação ao custo verdadeiro segue uma distribuição normal com média zero e desvio padrão \,10\,000 reais. Queremos a probabilidade de \,X ficar dentro de \pm15\,000 reais, ou seja
P\bigl(-15\,000 \le X \le 15\,000\bigr).

Passo 2

Para usar a tabela da normal padrão, fazemos a mudança de variável
Z = \frac{X - 0}{10\,000} = \frac{X}{10\,000},
que satisfaz \,Z\sim N(0,1). Os limites em Z são
\frac{-15\,000}{10\,000} = -1{,}5, \quad \frac{15\,000}{10\,000} = 1{,}5.

Passo 3

Em termos de Z, a probabilidade pedida é
P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) \;=\; \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5).
Como a normal padrão é simétrica, \Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5). Logo
P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \bigl[1 - \Phi(1{,}5)\bigr] = 2\,\Phi(1{,}5) - 1.

Passo 4

Consultando tabela da normal padrão,
\Phi(1{,}5)\approx 0{,}9332.
Então
P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) = 2 \times 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664.

Resposta

Em torno de 86{,}64\% das vezes.

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