Um banco deseja criar a categoria de cliente especial. Este público tem investimentos superiores a US \ 200.000,00 . Levando-se em conta os custos de administração, quanto maior o número de clientes especiais, mais vantajoso será para o banco. Por razões de custo, foram selecionadas duas categorias de clientes. Na primeira, clientes tipo A, sabe-se que os investimentos médios são de USçãúáõéã$170.000,00 , com desvio padrão de USã$ 40.000,00 . Suponha que os investimentos têm distribuição aproximadamente normal. a) Qual a probabilidade de um cliente do tipo A , sorteado ao acaso, pertencer à categoria de clientes especiais? b) Sorteados 20 clientes do tipo A ao acaso, qual é a probabilidade de pelo menos 5 pertencerem à categoria cliente especial? c) A segunda categoria de clientes, do tipo B, tem investimentos médios de US \(\\) 180.000,00\(com desvio padrão de US\)\$20.000,00. Admitindo que os tamanhos populacionais são os mesmos para as duas categorias, qual das duas será mais vantajosa para o banco. Justifique. Respostas sem justificativa serão ignoradas.

Passo 1

O enunciado diz que, para clientes do tipo A, os investimentos seguem aproximadamente uma distribuição normal com média \mu_A = 170{,}000 e desvio padrão \sigma_A = 40{,}000. Definimos cliente especial aquele com investimento superior a 200{,}000.
a) Pede-se \Pr(X>200{,}000) para X\sim N(\mu_A,\sigma_A^2).
b) Com essa probabilidade como p, sorteamos n=20 clientes independentes de tipo A e queremos \Pr(Y\ge5) para Y\sim \mathrm{Bin}(n,p).
c) Para o tipo B temos \mu_B=180{,}000, \sigma_B=20{,}000. Calculamos a nova p_B=\Pr(X>200{,}000) e comparamos p_A e p_B: maior p gera mais clientes especiais.

Passo 2

Para o tipo A, calculemos
z = \frac{200{,}000 - \mu_A}{\sigma_A} = \frac{200{,}000 - 170{,}000}{40{,}000} = \frac{30{,}000}{40{,}000} =0{,}75.
Então
\Pr(X>200{,}000) =1 - \Phi(0{,}75) \approx 1 - 0{,}7734 =0{,}2266.

Passo 3

Chamando p = 0{,}2266, o número de especiais em n=20 clientes tipo A é Y\sim\mathrm{Bin}(20,p). Queremos
\Pr(Y\ge5) = 1 - \Pr(Y\le4) = 1 - \sum_{k=0}^{4} \binom{20}{k} p^k (1-p)^{20-k}.

Passo 4

Calculando termo a termo (aproximação numérica):
\Pr(Y\le4)\approx 0{,}5166 \quad\Longrightarrow\quad \Pr(Y\ge5)\approx 1 - 0{,}5166 = 0{,}4834.

Passo 5

Para o tipo B, o z é
z = \frac{200{,}000 - \mu_B}{\sigma_B} = \frac{200{,}000 - 180{,}000}{20{,}000} =1,
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p_B = \Pr(X>200{,}000) =1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 =0{,}1587.

Passo 6

Comparando as duas probabilidades de um cliente ser especial:
p_A = 0{,}2266,\quad p_B = 0{,}1587.
Como p_A>p_B, a categoria A gera, em média, mais clientes especiais por cliente atendido. Portanto, a categoria A é mais vantajosa para o banco.

Resposta

a) 0{,}2266.
b) 0{,}4834.
c) A categoria A é mais vantajosa, pois possui maior probabilidade de gerar clientes especiais 0{,}2266>0{,}1587.

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