Avaliar o polinômio p(x)=x^3-6 x^2+4 x-0.1 no ponto 5.24 nos seguintes casos:
(a) Calcule sem arredondar;
(b) Calcule com arredondamento (verifique se vale associatividade para soma);
© Desta vez utilize a expressão p(x)=x(x(x-6)+4)-0.1 e compare o resultado com item b.

Passo 1

O enunciado pede avaliar o polinômio p(x)=x^3-6x^2+4x-0.1 no ponto x=5.24 de três maneiras: (a) sem arredondamento, (b) com arredondamento em ponto flutuante e verificando associatividade na soma, e © usando a forma de Horner p(x)=x(x(x-6)+4)-0.1. Vamos precisar de álgebra básica e de conceitos de aritmética de ponto flutuante com três dígitos significativos.

Passo 2

Para o cálculo exato (sem arredondar) computamos passo a passo: começamos por 5.24^2=27.4576 e 5.24^3=27.4576times5.24=143.877824. Em seguida 6times27.4576=164.7456 e 4times5.24=20.96. Somando tudo temos
p(5.24)=143.877824-164.7456+20.96-0.1=-0.007776

Passo 3

Para o cálculo em ponto flutuante com t=3 dígitos significativos, arredondamos cada operação ao resultado com três dígitos, arredondando ao mais próximo:
  • x^2=27.4576approx27.5
  • x^3=27.5times5.24=144.1approx144
  • -6x^2=-6times27.5=-165
  • 4x=4times5.24=20.96approx21.0
  • -0.1approx-0.100
    Agora somamos em sequência: 144+(-165)=-21.0, depois -21.0+21.0=0.0 e finalmente 0.0+(-0.100)=-0.100. Se agrupássemos a soma de forma diferente, por exemplo (144-165)+(21.0-0.100), chegaríamos ao mesmo -0.100, logo a associatividade vale neste caso.

Passo 4

Usando a forma de Horner p(x)=x(x(x-6)+4)-0.1 sob as mesmas regras de arredondamento:
  • x-6=5.24-6=-0.760
  • Multiplicando: -0.760times5.24=-3.9824approx-3.98
  • Somando: -3.98+4=0.02approx0.020
  • Multiplicando: 0.020times5.24=0.1048approx0.105
  • Subtraindo: 0.105-0.100=0.005
    O resultado é 0.005, bem diferente do -0.100 do item (b), mostrando que Horner reduz o erro de arredondamento.

Resposta

(a) -0.007776, (b) -0.100, © 0.005

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