Para avaliar a precisão de uma balança de laboratório, pesa-se repetidas vezes um objeto padrão de peso conhecido igual a 10 gramas. As leituras da balança têm distribuição normal com média desconhecida (essa média é 10 gramas, se a balança é equilibrada). Sabe-se que o desvio padrão das leituras é 0,0002 grama. Pesa-se o objeto 5 vezes e o resultado médio é 10,0023 gramas. Estabeleça um intervalo de 95% de confiança para a média de repetidas pesagens do objeto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como verificar a precisão de uma balança de laboratório. A gente tem que calcular um intervalo de confiança de 95% para a média das pesagens repetidas de um objeto que sabemos que pesa exatamente 10 gramas. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente o intervalo de confiança para a média quando a distribuição das leituras é normal e o desvio padrão é conhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos listar o que a gente já sabe:
  • Peso conhecido do objeto: 10 gramas.
  • Desvio padrão das leituras ( sigma): 0,0002 gramas.
  • Número de pesagens ( n): 5.
  • Média das pesagens ( barx): 10,0023 gramas.
  • Nível de confiança: 95%.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor crítico que corresponde a um intervalo de confiança de 95%. Como a distribuição é normal e conhecemos o desvio padrão, usamos a distribuição z.
Para um nível de confiança de 95%, o valor de zalpha/2 é aproximadamente 1,96. Isso porque 95% da área fica entre -1,96 e +1,96 desvios padrão na distribuição normal.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão ( EP) é dado por:
EP = sigmaraizn = 0,0002raiz5 approx 0,00022,236 approx 0,0000894 gramas

Passo 5

Com o erro padrão e o valor crítico, podemos calcular a margem de erro ( ME):
ME = zalpha/2 times EP = 1,96 times 0,0000894 approx 0,000175 gramas

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média das pesagens:
Intervalo de Confiança = barx pm ME = 10,0023 pm 0,000175 ç
Isso dá:
10,0023 - 0,000175 = 10,002125 gramas
10,0023 + 0,000175 = 10,002475 gramas

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média das pesagens é entre 10,002125 gramas e 10,002475 gramas.

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