Suponha que o raio de uma esfera seja uma variável aleatória contínua (Em virtudes de imprecisões do processo de fabricação, os raios das diferentes esferas podem ser diferentes). Suponha que o raio R em cm tenha densidade
fR(r)=l 6 r(1-r), se 0á
Calcule E(V) e E(A) onde V é o volume da esfera e A sua área superficial.
Lembre-se que:
V=43 pi R^3 e A=4 pi R^2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício onde o raio de uma esfera é uma variável aleatória contínua. O que isso significa é que, por causa de imprecisões na fabricação, cada esfera pode ter um raio diferente. Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado do volume $ E(V) $ e da área superficial $ E(A) $ dessas esferas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especialmente a densidade de probabilidade de uma variável contínua, e aplicar integrais para encontrar esses valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ E(V) $ e $ E(A) $. O valor esperado basicamente nos dá uma média ponderada dos possíveis valores que $ V $ e $ A $ podem assumir, considerando a distribuição de probabilidades do raio $ R $.
A fórmula para o volume de uma esfera é:
E(V)
E a fórmula para a área superficial é:
E(A)
Nosso objetivo é encontrar $ E(V) $ e $ E(A) $, que são:
V
A

Passo 3

Vamos calcular $ E(R^{3}) $ primeiro. O valor esperado de $ R^{3} $ é dado por:
E(R^3)
Substituindo a densidade $ f_{R}® = 6r(1 - r) $:
R^3

Passo 4

Vamos resolver essa integral:
E(R^3) = 6 integral0^1 r^4(1 - r) , dr = 6 [ integral0^1 r^4 , dr - integral0^1 r^5 , dr ]
Calculando as integrais:
integral0^1 r^4 , dr = 15
integral0^1 r^5 , dr = 16
Portanto:
E(R^3) = 6 ( 15 - 16 ) = 6 ( 6 - 530 ) = 6 cdot 130 = 15

Passo 5

Agora, vamos calcular $ E(V) $ usando o valor encontrado para $ E(R^{3}) $:
E(V)

Passo 6

Vamos agora calcular $ E(R^{2}) $:
E(R^2)

Passo 7

Resolvendo essa integral:
E(R^2) = 6 integral0^1 r^3(1 - r) , dr = 6 [ integral0^1 r^3 , dr - integral0^1 r^4 , dr ]
Calculando as integrais:
integral0^1 r^3 , dr = 14
integral0^1 r^4 , dr = 15
Portanto:
E(R^2) = 6 ( 14 - 15 ) = 6 ( 5 - 420 ) = 6 cdot 120 = 310

Passo 8

Finalmente, vamos calcular $ E(A) $ usando o valor encontrado para $ E(R^{2}) $:
E(A)

Resposta

O valor esperado do volume é $ E(V) = \frac{4}{15} \pi $ cm³ e o valor esperado da área superficial é $ E(A) = \frac{6}{5} \pi $ cm².

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