Suponha que o raio de uma esfera seja uma variável aleatória contínua (Em virtudes de imprecisões do processo de fabricação, os raios das diferentes esferas podem ser diferentes). Suponha que o raio R em cm tenha densidade
Calcule
e
onde
é o volume da esfera e
sua área superficial.
Lembre-se que:
Lembre-se que:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício onde o raio de uma esfera é uma variável aleatória contínua. O que isso significa é que, por causa de imprecisões na fabricação, cada esfera pode ter um raio diferente. Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado do volume $ E(V) $ e da área superficial $ E(A) $ dessas esferas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especialmente a densidade de probabilidade de uma variável contínua, e aplicar integrais para encontrar esses valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ E(V) $ e $ E(A) $. O valor esperado basicamente nos dá uma média ponderada dos possíveis valores que $ V $ e $ A $ podem assumir, considerando a distribuição de probabilidades do raio $ R $.
A fórmula para o volume de uma esfera é:
E a fórmula para a área superficial é:
Nosso objetivo é encontrar $ E(V) $ e $ E(A) $, que são:
Passo 3
Vamos calcular $ E(R^{3}) $ primeiro. O valor esperado de $ R^{3} $ é dado por:
Substituindo a densidade $ f_{R}® = 6r(1 - r) $:
Passo 4
Vamos resolver essa integral:
Calculando as integrais:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ E(V) $ usando o valor encontrado para $ E(R^{3}) $:
Passo 6
Vamos agora calcular $ E(R^{2}) $:
Passo 7
Resolvendo essa integral:
Calculando as integrais:
Portanto:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular $ E(A) $ usando o valor encontrado para $ E(R^{2}) $:
Resposta
O valor esperado do volume é $ E(V) = \frac{4}{15} \pi $ cm³ e o valor esperado da área superficial é $ E(A) = \frac{6}{5} \pi $ cm².