Ao avaliar riscos de crédito um banco investiga o número de cartões de crédito que a pessoa tem. Com X sendo o número de cartões de crédito que os adultos possuem. A tabela a seguir apresenta o que se considera ser uma distribuição de probabilidades de X:
x 0 1 2 3 4 5 6 7
|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 hline $P(x)$ & 0,26 & 0,16 & 0,12 & 0,09 & 0,07 & 0,09 & 0,07 & 0,14 hline 0,26 0,16 0,12 0,09 0,07 0,09 0,07 0,14
a) Esta distribuição pode realmente ser considerada uma distribuição de probabilidades? Por quê?
b) Caso a resposta do item anterior seja positiva, calcule a média, variância e o desvio padrão do número X de cartões de créditos. (R.: 2,8; 6,36; 2,52)

Passo 1

O enunciado diz que X é o número de cartões de crédito que adultos possuem, com valores de 0 a 7 e probabilidades dadas. Primeiro vamos verificar se isso forma uma distribuição válida e depois calcular média, variância e desvio padrão.

Passo 2

Para ser uma distribuição de probabilidade válida, todas as probabilidades devem ser não negativas e a soma delas deve ser 1. Aqui todas as P(x) são ≥0 e somando:
0,26+0,16+0,12+0,09+0,07+0,09+0,07+0,14=1,00
logo é uma distribuição de probabilidade válida.

Passo 3

Agora calculamos a média (esperança) de X como E[X]=sum xP(x):
E[X]=0cdot0,26+1cdot0,16+2cdot0,12+3cdot0,09+4cdot0,07+5cdot0,09+6cdot0,07+7cdot0,14=2,8

Passo 4

Em seguida calculamos o segundo momento E[X^2]=sum x^2P(x):
E[X^2]=0^2cdot0,26+1^2cdot0,16+2^2cdot0,12+3^2cdot0,09+4^2cdot0,07+5^2cdot0,09+6^2cdot0,07+7^2cdot0,14=14,20

Passo 5

A variância é dada por Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2:
Var(X)=14,20-(2,8)^2=14,20-7,84=6,36

Passo 6

Por fim, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
sigma=raiz6,36=2,52

Resposta

média = 2,8; variância = 6,36; desvio padrão = 2,52

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