No berçário de uma maternidade há 8 recém-nascidos. Qual a probabilidade de que:
a) todos sejam homens. (R.: 0,0039)
b) pelo menos um seja mulher (R.: 0,9961)
c) exatamente 3 sejam homens (R.: 0,21875)
d) ao menos 3 sejam homens (R.: 0,855468 )
e) Qual é a média do número de recém-nascidos homens? (R.: 4)
f) Qual é o valor mais provável da variável número de recém-nascidos homens? (R.: 4)

Passo 1

A questão diz que num berçário temos 8 recém-nascidos e cada um tem probabilidade 0,5 de ser homem ou mulher. Precisamos calcular probabilidades relacionadas ao número de homens e também estatísticas (média e moda). O conteúdo aqui é distribuição binomial: vamos usar a fórmula de P(X=k), onde X = número de homens.

Passo 2

Definimos X ~ Binomial(n=8, p=0,5). A fórmula geral é:
P(X = k) = binom8k,(0,5)^k,(0,5)^8-k = binom8k,(0,5)^8

Passo 3

Para (a) “todos sejam homens” temos k=8, então
P(X = 8) = binom88(0,5)^8 = 1cdot(0,5)^8 = 1256 approx 0,0039

Passo 4

Para (b) “pelo menos uma seja mulher” note que isso é o complemento de todos serem homens. Logo
P(≥1 mulher) = 1 - P(X = 8) = 1 - 1256 = 255256 approx 0,9961

Passo 5

Para © “exatamente 3 sejam homens” temos k=3:
P(X = 3) = binom83(0,5)^8 = 56cdot1256 = 56256 = 0,21875

Passo 6

Para (d) “ao menos 3 sejam homens” calculamos 1 menos a soma das probabilidades de X=0,1,2:
P(X >= 3) = 1 - sumk=0^2 binom8k(0,5)^8 = 1 - 1 + 8 + 28256 = 1 - 37256 = 219256 approx 0,85546875

Passo 7

Para (e) a média de X numa binomial é E[X] = n p, ou seja
E[X] = 8 times 0,5 = 4

Passo 8

Para (f) a moda de uma Binomial(n,p) é dado por lfloor (n+1)p rfloor. Aqui (8+1)times0,5 = 4,5, então lfloor4,5rfloor = 4.

Resposta

a) 0,0039; b) 0,9961; c) 0,21875; d) 0,85546875; e) 4; f) 4

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