No berçário de uma maternidade há 8 recém-nascidos. Qual a probabilidade de que:
a) todos sejam homens. (R.: 0,0039)
b) pelo menos um seja mulher (R.: 0,9961)
c) exatamente 3 sejam homens (R.: 0,21875)
d) ao menos 3 sejam homens (R.: 0,855468 )
e) Qual é a média do número de recém-nascidos homens? (R.: 4)
f) Qual é o valor mais provável da variável número de recém-nascidos homens? (R.: 4)
a) todos sejam homens. (R.: 0,0039)
b) pelo menos um seja mulher (R.: 0,9961)
c) exatamente 3 sejam homens (R.: 0,21875)
d) ao menos 3 sejam homens (R.: 0,855468 )
e) Qual é a média do número de recém-nascidos homens? (R.: 4)
f) Qual é o valor mais provável da variável número de recém-nascidos homens? (R.: 4)
Passo 1
A questão diz que num berçário temos 8 recém-nascidos e cada um tem probabilidade 0,5 de ser homem ou mulher. Precisamos calcular probabilidades relacionadas ao número de homens e também estatísticas (média e moda). O conteúdo aqui é distribuição binomial: vamos usar a fórmula de P(X=k), onde X = número de homens.
Passo 2
Definimos X ~ Binomial(n=8, p=0,5). A fórmula geral é:
Passo 3
Para (a) “todos sejam homens” temos k=8, então
Passo 4
Para (b) “pelo menos uma seja mulher” note que isso é o complemento de todos serem homens. Logo
Passo 5
Para © “exatamente 3 sejam homens” temos k=3:
Passo 6
Para (d) “ao menos 3 sejam homens” calculamos 1 menos a soma das probabilidades de X=0,1,2:
Passo 7
Para (e) a média de X numa binomial é E[X] = n p, ou seja
Passo 8
Para (f) a moda de uma Binomial(n,p) é dado por
. Aqui
, então
.
Resposta
a) 0,0039; b) 0,9961; c) 0,21875; d) 0,85546875; e) 4; f) 4