Uma faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem distinção de sexo e o conjunto de candidatos é grande, com números iguais de homens e mulhères. A tabela a seguir apresenta uma distribuição que a faculdade afirma ser a distribuição de probabilidades do número X de mulheres contratadas:
x 0 1 2 3 4
|c|c|c|c|c|c| hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 hline $P(x)$ & 0,0625 & 0,2500 & 0,3750 & 0,2500 & 0,0625 hline 0,0625 0,2500 0,3750 0,2500 0,0625
a) Esta distribuição pode realmente ser considerada uma distribuição de probabilidades? Por quê?
b) Caso a resposta do item anterior seja positiva, calcule a média, variância e o desvio padrão do número X de mulheres contratadas. (R.: 2,0; 1,0;1,0)

Passo 1

Estamos diante de uma variável discreta X que conta o número de mulheres contratadas em um processo de 4 vagas sem distinção de sexo. A tabela fornece as probabilidades P(x) para x=0,1,2,3,4. O conteúdo envolve distribuição de probabilidade discreta (ainda que aqui reconheçamos que é a binomial) e precisaremos verificar as condições de validade (não-negatividade e soma das probabilidades igual a 1) e depois usar as fórmulas de expectativa E(X), variância Var(X) e desvio padrão sigmaX.

Passo 2

Primeiro, para ser uma distribuição de probabilidade válida, cada P(x) deve ser maior ou igual a zero e a soma de todas as probabilidades deve dar 1. Aqui temos todas as entradas não negativas e
0,0625 + 0,2500 + 0,3750 + 0,2500 + 0,0625 = 1,0000
portanto essas condições estão satisfeitas, logo é uma distribuição válida.

Passo 3

Para calcular a média usamos a definição de expectativa de variável discreta:
E(X)=sumx=0^4 x,P(x)=0cdot0,0625+1cdot0,2500+2cdot0,3750+3cdot0,2500+4cdot0,0625=2,0
Alternativamente, percebemos que é uma binomial B(n=4,p=0,5), onde E(X)=np=4times0,5=2,0.

Passo 4

Para a variância podemos usar Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2. Primeiro calculemos E(X^2):
E(X^2)=sumx=0^4 x^2P(x)=0^2cdot0,0625+1^2cdot0,2500+2^2cdot0,3750+3^2cdot0,2500+4^2cdot0,0625=5,0
Logo
Var(X)=5,0-(2,0)^2=1,0
Também poderíamos usar direto a fórmula da binomial Var(X)=np(1-p)=4times0,5times0,5=1,0.

Passo 5

O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância:
sigmaX=raizVar(X)=raiz1,0=1,0

Resposta

Média = 2,0; Variância = 1,0; Desvio padrão = 1,0

Exercícios relacionados