Calcule a integral de linha , usando teorema fundamental para integrais de linha
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é a curva parametrizada por
.
O conteúdo é campo vetorial conservativo e usaremos o teorema fundamental para integrais de linha (isto é, achar uma potencial e depois fazer ).
O conteúdo é campo vetorial conservativo e usaremos o teorema fundamental para integrais de linha (isto é, achar uma potencial e depois fazer
Passo 2
Verificamos que
é conservativo checando
,
e
, onde
,
,
.
De fato:
,
;
,
;
,
.
Como batem todas, existe potencial tal que
.
De fato:
Como batem todas, existe potencial
Passo 3
Construímos
integrando
em relação a
:
Depois impomos
para achar
. Como
de
é
, igual a
, vem
, logo
é constante. Verifica-se também em
. Podemos tomar
Passo 4
Pelo teorema fundamental para integrais de linha,
Passo 5
Em
:
, então
.
Em :
, então
.
Portanto a integral vale .
Em
Portanto a integral vale