Calcule a integral de linha , usando teorema fundamental para integrais de linha
\begin{aligned} & \mathbf{F}(x, y, z)=\left(y^{2} z+2 x z^{2}\right) \mathbf{i}+2 x y z \mathbf{j}+\left(x y^{2}+2 x^{2} z\right) \mathbf{k} \\ & C: x=\sqrt{t}, y=t+1, z=t^{2}, 0 \leqslant t \leqslant 1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(y^{2}z+2xz^{2}\bigr)\mathbf{i}+2xyz\,\mathbf{j}+\bigl(xy^{2}+2x^{2}z\bigr)\mathbf{k}
e C é a curva parametrizada por
\displaystyle x=\sqrt{t},\;y=t+1,\;z=t^{2},\;0\le t\le1.
O conteúdo é campo vetorial conservativo e usaremos o teorema fundamental para integrais de linha (isto é, achar uma potencial e depois fazer f\bigl(r(1)\bigr)-f\bigl(r(0)\bigr)).

Passo 2

Verificamos que \mathbf{F} é conservativo checando
\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x,
\partial P/\partial z=\partial R/\partial x e
\partial Q/\partial z=\partial R/\partial y, onde
P=y^{2}z+2xz^{2}, Q=2xyz, R=xy^{2}+2x^{2}z.
De fato:
\partial P/\partial y=2yz, \partial Q/\partial x=2yz;
\partial P/\partial z=y^{2}+4xz, \partial R/\partial x=y^{2}+4xz;
\partial Q/\partial z=2xy, \partial R/\partial y=2xy.
Como batem todas, existe potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}.

Passo 3

Construímos f integrando P=\partial f/\partial x em relação a x:
f(x,y,z)=\int\bigl(y^{2}z+2xz^{2}\bigr)\,dx =xy^{2}z + x^{2}z^{2} + h(y,z).
Depois impomos \partial f/\partial y=Q para achar h. Como \partial/\partial y de xy^{2}z+x^{2}z^{2} é 2xyz, igual a Q, vem h_y=0, logo h é constante. Verifica-se também em \partial f/\partial z. Podemos tomar
f(x,y,z)=xy^{2}z + x^{2}z^{2}.

Passo 4

Pelo teorema fundamental para integrais de linha,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(x(1),y(1),z(1)\bigr)\;-\;f\bigl(x(0),y(0),z(0)\bigr).

Passo 5

Em t=1: \bigl(x,y,z\bigr)=(1,2,1), então
f(1,2,1)=1\cdot2^{2}\cdot1+1^{2}\cdot1^{2}=4+1=5.
Em t=0: \bigl(x,y,z\bigr)=(0,1,0), então f(0,1,0)=0.
Portanto a integral vale 5-0=5.

Resposta

5

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