Avalie as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso), justificando sua resposta: A matriz A=(cccos theta & sen theta sen theta & -cos theta) é ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = costheta & sintheta sintheta & -costheta
é ortogonal. Lembrando que uma matriz A é ortogonal se
A^TA = I,
onde I é a matriz identidade de ordem 2.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a transposta de A:
A^T = costheta & sintheta sintheta & -costheta ^T = costheta & sintheta sintheta & -costheta
(observando que nesse caso A^T=A). Agora computamos o produto A^TA:
A^TA = costheta & sintheta sintheta & -costheta costheta & sintheta sintheta & -costheta
Calculando elemento a elemento, obtemos
A^TA = cos^2theta+sin^2theta & costheta,sintheta - sintheta,costheta sintheta,costheta - costheta,sintheta & sin^2theta+cos^2theta

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica cos^2theta+sin^2theta=1 e observando que costheta,sintheta - sintheta,costheta=0, concluímos
A^TA = 1 & 0 0 & 1 =I
Logo, A satisfaz a condição de ortogonalidade.

Resposta

V (verdadeiro)

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