Avalie as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso), justificando sua resposta: Sejam A e B matrizes triangulares inferiores n times n, cujos elementos da diagonal principal são dados por (a11, ldots, an n) e (b11, ldots, bn n), respectivamente. Então, det(A+B)=(a11+b11)(a22+b22) cdots(an n+bn n).

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes triangulares inferiores de ordem n, com os elementos da diagonal de A sendo
l(a11,a22,dots,annr) e os de B sendo
l(b11,b22,dots,bnnr). Queremos avaliar se
det(A+B)=prodi=1^n(aii+bii).
Para isso, vamos usar duas ideias principais:
  1. a soma de duas matrizes triangulares inferiores continua triangular inferior;
  2. a determinante de uma matriz triangular é o produto dos seus elementos da diagonal.

Passo 2

Como A e B são triangulares inferiores, em cada posição acima da diagonal principal ambos têm zeros. Na soma
A+B
essa propriedade se mantém, pois soma de zeros continua zero. Logo A+B também é triangular inferior. Além disso, o elemento (i,i) de A+B é
(aii+bii)

Passo 3

Pela propriedade da determinante de matrizes triangulares, temos
det(A+B) =prodi=1^nl(e<=mento (i,i) de (A+B)r) =prodi=1^n(aii+bii)

Resposta

A afirmação é verdadeira.
det(A+B)=prodi=1^n(aii+bii).

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