Avalie as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso), justificando sua resposta: Se A, B, C e O são matrizes quadradas de ordem n, sendo A e C invertíveis e O uma matriz nula (seus elementos são todos iguais a zero), então a matriz D=(llA & 0 B & C), quadrada de ordem 2n, é invertível.
Para os itens (g), (h) e (i), considere M=I-X(X^t X)^-1 X^t, onde Xm times n é uma matriz de ordem m times n, com m>n.
g. ( ) M é simétrica.

Passo 1

O enunciado define
M = I - X,(X^t X)^-1X^t
e pergunta se M é simétrica, isto é, se vale
M^t = M
Vamos usar as propriedades de transposição de soma e produto de matrizes e o fato de que X^t X é simétrica.

Passo 2

Calculamos a transposta de M:
M^t = l(I - X,(X^t X)^-1X^tr)^t = I^t - l(X,(X^t X)^-1X^tr)^t
Usando ,(AB)^t = B^t A^t, ,(X^t)^t = X e ,(X^t X)^t = X^t X implica ,l((X^t X)^-1r)^t = (X^t X)^-1, temos
M^t = I - X,(X^t X)^-1X^t = M
Logo M^t = M, ou seja, M é simétrica.

Resposta

g. Verdadeiro.

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