Considere o conjunto V=(x1, x2) mid x1, x2 in R. Mostre que (V,+, cdot) não é um espaço vetorial sobre R em relação a cada uma das seguintes operações:
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1, x2) e
lambda(x1, x2)=(lambda x1, lambda x2)

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V=(x1,x2)mid x1,x2inR
com a “adição”
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1,x2)
e a multiplicação escalar usual
lambda,(x1,x2)=(lambda x1,lambda x2).
Para ser espaço vetorial sobre R, devemos satisfazer oito axiomas, entre eles a comutatividade da soma e a existência de elemento neutro. Vamos mostrar que pelo menos um desses falha.

Passo 2

Testando a comutatividade da soma, temos para vetores arbitrários (x1,x2) e (y1,y2):
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1,x2),
(y1,y2)+(x1,x2)=(y1,y2)
Em geral (x1,x2)neq(y1,y2), logo
(x1,x2)+(y1,y2)neq (y1,y2)+(x1,x2),
ou seja, a soma não é comutativa, falhando um axioma de espaço vetorial.

Passo 3

Além disso, suponha que exista um vetor neutro e=(e1,e2) tal que para todo (x1,x2)in V valha
(x1,x2)+e=(x1,x2) e e+(x1,x2)=(x1,x2).
Pela definição da soma,
(x1,x2)+e=(x1,x2) (ok para qualquer (e)),
porém
e+(x1,x2)=(e1,e2),
que só seria igual a (x1,x2) se (e1,e2)=(x1,x2) para todo (x1,x2), o que é impossível. Logo não existe elemento neutro.

Passo 4

Como já falha a comutatividade da soma e não existe neutro aditivo, pelo menos dois axiomas essenciais de espaço vetorial não se satisfazem. Portanto, (V,+,cdot) não é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

O conjunto V com essas operações não satisfaz axiomas fundamentais (como comutatividade da soma e existência de elemento neutro), logo não é um espaço vetorial sobre R.

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