Considere o conjunto
. Mostre que
não é um espaço vetorial sobre
em relação a cada uma das seguintes operações:
e
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a “adição”
com a “adição”
e a multiplicação escalar usual
.
Para ser espaço vetorial sobre , devemos satisfazer oito axiomas, entre eles a comutatividade da soma e a existência de elemento neutro. Vamos mostrar que pelo menos um desses falha.
Para ser espaço vetorial sobre
Passo 2
Testando a comutatividade da soma, temos para vetores arbitrários
e
:
Em geral
, logo
ou seja, a soma não é comutativa, falhando um axioma de espaço vetorial.
Passo 3
Além disso, suponha que exista um vetor neutro
tal que para todo
valha
e
.
Pela definição da soma,
Pela definição da soma,
porém
que só seria igual a
se
para todo
, o que é impossível. Logo não existe elemento neutro.
Passo 4
Como já falha a comutatividade da soma e não existe neutro aditivo, pelo menos dois axiomas essenciais de espaço vetorial não se satisfazem. Portanto,
não é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto
com essas operações não satisfaz axiomas fundamentais (como comutatividade da soma e existência de elemento neutro), logo não é um espaço vetorial sobre
.