Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
Seja
um operador linear. Se os vetores
e
geram
, então os vetores
e
também geram
.
Seja
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear
. Nos dizem que os vetores
e
geram
, ou seja, qualquer vetor em
pode ser formado através de combinações lineares desses vetores. A questão pergunta se, após aplicar o operador
nesses vetores, os vetores resultantes
e
também geram
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de operadores lineares, espaços geradores e a relação entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que três vetores geram
. Isso quer dizer que esses vetores são linearmente independentes e formam uma base para
. Ou seja, não há como escrever um desses vetores como combinação dos outros dois, e qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Passo 3
Agora, vamos pensar no operador linear
. Um operador linear pode, basicamente, transformar os vetores de
de várias maneiras, mas mantendo a linearidade, ou seja, preservando operações de soma e multiplicação por escalar.
Passo 4
A questão principal é saber se a imagem dos vetores
e
ainda vai gerar todo o espaço
. Para isso, precisamos considerar o que o operador
faz com a dimensão do espaço. Se
for invertível (ou seja, se tiver um inverso linear), então sim, os vetores transformados também vão gerar
. Porém, se
não for invertível, isso significa que a transformação pode reduzir a dimensão do espaço, fazendo com que os vetores transformados não consigam mais gerar todo
.
Passo 5
Como o enunciado não nos dá informações sobre a invertibilidade de
, não podemos garantir que
e
vão gerar
. Existe a possibilidade de
reduzir a dimensão, deixando-nos com vetores que não conseguem mais gerar todo o espaço.
Resposta
F