Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
Seja T: R^3 R^3 um operador linear. Se os vetores v1, v2 e v3 geram R^3, então os vetores T(v1), T(v2) e T(v3) também geram R^3.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear T: R^3 R^3 . Nos dizem que os vetores v1, v2 e v3 geram R^3 , ou seja, qualquer vetor em R^3 pode ser formado através de combinações lineares desses vetores. A questão pergunta se, após aplicar o operador T nesses vetores, os vetores resultantes T(v1), T(v2) e T(v3) também geram R^3 . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de operadores lineares, espaços geradores e a relação entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que três vetores geram R^3 . Isso quer dizer que esses vetores são linearmente independentes e formam uma base para R^3 . Ou seja, não há como escrever um desses vetores como combinação dos outros dois, e qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Passo 3

Agora, vamos pensar no operador linear T . Um operador linear pode, basicamente, transformar os vetores de R^3 de várias maneiras, mas mantendo a linearidade, ou seja, preservando operações de soma e multiplicação por escalar.

Passo 4

A questão principal é saber se a imagem dos vetores T(v1), T(v2) e T(v3) ainda vai gerar todo o espaço R^3 . Para isso, precisamos considerar o que o operador T faz com a dimensão do espaço. Se T for invertível (ou seja, se tiver um inverso linear), então sim, os vetores transformados também vão gerar R^3 . Porém, se T não for invertível, isso significa que a transformação pode reduzir a dimensão do espaço, fazendo com que os vetores transformados não consigam mais gerar todo R^3 .

Passo 5

Como o enunciado não nos dá informações sobre a invertibilidade de T , não podemos garantir que T(v1), T(v2) e T(v3) vão gerar R^3 . Existe a possibilidade de T reduzir a dimensão, deixando-nos com vetores que não conseguem mais gerar todo o espaço.

Resposta

F

Exercícios relacionados