Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
Seja T: R^3 R^4 uma transformação linear. Se os vetores v1, v2, v3 formam uma base para R^3, então T(v1), T(v2) e T(v3) formam uma base para a Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T: R^3 R^4 . A afirmação diz que se v1, v2, v3 formam uma base para R^3 , então as imagens desses vetores, T(v1), T(v2), T(v3) , formam uma base para a imagem de T , que é Im(T) . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa uma base e como as imagens desses vetores se relacionam com a imagem da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Em R^3 , uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço, ou seja, qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.

Passo 3

Agora, a transformação linear T pega vetores de R^3 e os mapeia para R^4 . A imagem de T , Im(T) , é o conjunto de todos os vetores em R^4 que são resultado dessa transformação.

Passo 4

A pergunta quer saber se, ao aplicar T nos vetores da base v1, v2, v3 , as imagens T(v1), T(v2), T(v3) formam uma base para Im(T) . Para que isso aconteça, essas imagens precisam ser linearmente independentes e gerar toda a imagem de T .

Passo 5

No entanto, mesmo que v1, v2, v3 sejam uma base para R^3 , as imagens T(v1), T(v2), T(v3) podem não ser linearmente independentes em R^4 . Isso pode acontecer se a transformação T não for injetora, ou seja, se houver vetores não nulos em R^3 que são mapeados para o mesmo vetor em R^4 .

Passo 6

Por exemplo, se T reduzir a dimensão, algumas combinações de v1, v2, v3 podem acabar gerando vetores dependentes em R^4 . Portanto, não podemos garantir que T(v1), T(v2), T(v3) sempre serão uma base para Im(T) .

Resposta

F (falso)

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