Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
Seja
uma transformação linear. Se os vetores
formam uma base para
, então
e
formam uma base para a
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
. A afirmação diz que se
formam uma base para
, então as imagens desses vetores,
, formam uma base para a imagem de
, que é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa uma base e como as imagens desses vetores se relacionam com a imagem da transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Em
, uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço, ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.
Passo 3
Agora, a transformação linear
pega vetores de
e os mapeia para
. A imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores em
que são resultado dessa transformação.
Passo 4
A pergunta quer saber se, ao aplicar
nos vetores da base
, as imagens
formam uma base para
. Para que isso aconteça, essas imagens precisam ser linearmente independentes e gerar toda a imagem de
.
Passo 5
No entanto, mesmo que
sejam uma base para
, as imagens
podem não ser linearmente independentes em
. Isso pode acontecer se a transformação
não for injetora, ou seja, se houver vetores não nulos em
que são mapeados para o mesmo vetor em
.
Passo 6
Por exemplo, se
reduzir a dimensão, algumas combinações de
podem acabar gerando vetores dependentes em
. Portanto, não podemos garantir que
sempre serão uma base para
.
Resposta
F (falso)