Mostre que, dados dois inteiros quaisquer alpha e beta, se alpha cdot beta=(0,0), então, ou alpha=(0,0), ou beta=(0,0). (Sugestão: use que (0,0) é elemento absorvente da multiplicação dos inteiros e a Lei do cancelamento multiplicativo em Z ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se a multiplicação de dois inteiros quaisquer, α e β, resulta em zero, então pelo menos um dos dois números precisa ser zero. A matéria que estamos lidando aqui é a árvore de números inteiros e propriedades da multiplicação. Para resolver isso, vamos usar o fato de que zero é um elemento absorvente na multiplicação e a Lei do Cancelamento Multiplicativo em ℤ (conjunto dos números inteiros).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que zero é um elemento absorvente na multiplicação. Isso quer dizer que, para qualquer inteiro α, temos:
alpha cdot 0 = 0 cdot alpha = 0
Ou seja, multiplicar qualquer número por zero sempre dá zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto α ⋅ β = 0. Queremos mostrar que isso implica que pelo menos um dos fatores, α ou β, é zero.

Passo 4

Suponha, para fins de contradição, que ambos α e β não sejam zero. Ou seja, α ≠ 0 e β ≠ 0.

Passo 5

Se α ≠ 0 e β ≠ 0, então, podemos aplicar a Lei do Cancelamento Multiplicativo. Essa lei diz que se α ⋅ β = α ⋅ γ e α ≠ 0, então β = γ.

Passo 6

Aplicando a Lei do Cancelamento, se α ⋅ β = 0 e α ≠ 0, então β deve ser igual a zero. Mas isso contradiz nossa suposição de que β ≠ 0.

Passo 7

Como chegamos a uma contradição, nossa suposição inicial de que ambos α e β são diferentes de zero está errada. Portanto, pelo menos um dos dois deve ser zero.

Resposta

Assim, mostramos que se α ⋅ β = 0, então necessariamente α = 0 ou β = 0. Ou seja, pelo menos um dos inteiros α ou β é o zero.

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