Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
Seja T: V W é uma transformação linear e U um subespaço vetorial de V. Se V=U oplus Nuc(T), isto é, V é soma direta de U com o Nuc(T), então dim Im(T)=dim U.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon V to W e um subespaço Usubseteq V tal que
V = U oplus Nuc(T)
Queremos mostrar que
dim Im(T) = dim U

Passo 2

Como V é soma direta de U com Nuc(T), vale a relação de dimensões para soma direta:
dim V = dim U + dim Nuc(T)

Passo 3

Pelo Teorema da Dimensão (Teorema do Núcleo e da Imagem), sabemos também que
dim V = dim Nuc(T) + dim Im(T)

Passo 4

Comparando as duas expressões para dim V,
dim U + dim Nuc(T) = dim Nuc(T) + dim Im(T),
e cancelando dim Nuc(T) de ambos os lados, obtemos
dim U = dim Im(T)

Resposta

Verdadeiro.

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