Classifique as seguintes afirmações abaixo como V (verdadeiras) ou F (falsa):
Seja
uma transformação linear. Se T é sobrejetora, então T também é injetora.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação “Seja
uma transformação linear. Se
é sobrejetora, então
também é injetora.” Aqui o conteúdo é a relação entre injeção e sobrejeção em transformações lineares, em particular quando o espaço
é de dimensão finita ou infinita.
Passo 2
Em espaços de dimensão finita, vale o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity): para
,
Se
é sobrejetora, então
e daí
, logo
é injetora. Mas esse argumento só vale se
for finita.
Passo 3
Quando
é de dimensão infinita, a implicação pode falhar. Um contra-exemplo clássico é o espaço dos polinômios reais
com a transformação derivação
Para qualquer polinômio
podemos escolher
que também é polinomial, de modo que
. Assim
é sobrejetora. Mas
logo
não é injetora.
Resposta
F