Classifique as seguintes afirmações abaixo como V (verdadeiras) ou F (falsa):
Seja T: V V uma transformação linear. Se T é sobrejetora, então T também é injetora.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação “Seja T:Vto V uma transformação linear. Se T é sobrejetora, então T também é injetora.” Aqui o conteúdo é a relação entre injeção e sobrejeção em transformações lineares, em particular quando o espaço V é de dimensão finita ou infinita.

Passo 2

Em espaços de dimensão finita, vale o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity): para T:Vto V,
dim V = diml(kerTr) + diml(Im,Tr)
Se T é sobrejetora, então dim(Im,T)=dim V e daí dim(kerT)=0, logo T é injetora. Mas esse argumento só vale se dim V for finita.

Passo 3

Quando V é de dimensão infinita, a implicação pode falhar. Um contra-exemplo clássico é o espaço dos polinômios reais
V = R[x],
com a transformação derivação
T(f) = f'
Para qualquer polinômio ginR[x] podemos escolher
f(x) = integral g(x),dx
que também é polinomial, de modo que T(f)=g. Assim T é sobrejetora. Mas
kerT = ,polinômios constantes,neq0, ô
logo T não é injetora.

Resposta

F

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