Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
Se v e w são vetores ortogonais em V e se T: V V é um operador linear, então T(v) e T(w) também são vetores ortogonais em V.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço com produto interno V, vetores ortogonais v,win V (ou seja, lang<= v,wrang<==0) e um operador linear Tcolon Vto V. Pergunta-se se sempre vale que T(v) e T(w) são ortogonais em V. Vamos usar o conceito de preservação do produto interno por operadores lineares.

Passo 2

Lembrando que dois vetores x,yin V são ortogonais exatamente quando
lang<= x,yrang<= = 0
Para que um operador linear T preserve a ortogonalidade de \emph{todos} os pares de vetores, ele precisa satisfazer
lang<= T(x),T(y)rang<= = lang<= x,yrang<=
para quaisquer x,y. Operadores com essa propriedade chamam-se \emph{isometrias} ou \emph{operadores ortogonais/unitários} (dependendo do corpo).

Passo 3

Um operador linear genérico não garante
lang<= T(v),T(w)rang<= = 0
a partir de lang<= v,wrang<==0, pois ele pode “mudar” ângulos e comprimentos. Logo, em geral a afirmação é falsa.

Passo 4

Contraexemplo em V=R^2 com o produto interno usual e vetores
v=(1,0), w=(0,1)
Defina
T(x,y) = (x+y,;x+y)
Então T é linear e
T(v) = (1,1), T(w)=(1,1),
mas
lang<= T(v),T(w)rang<= = 1cdot1 + 1cdot1 = 2 neq 0
Logo, T(v) e T(w) não são ortogonais, embora vperp w.

Resposta

F
A afirmação é falsa.

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