Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
Se v e w são vetores ortogonais em
e se
é um operador linear, então
e
também são vetores ortogonais em
.
Se v e w são vetores ortogonais em
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço com produto interno
, vetores ortogonais
(ou seja,
) e um operador linear
. Pergunta-se se sempre vale que
e
são ortogonais em
. Vamos usar o conceito de preservação do produto interno por operadores lineares.
Passo 2
Lembrando que dois vetores
são ortogonais exatamente quando
Para que um operador linear
preserve a ortogonalidade de \emph{todos} os pares de vetores, ele precisa satisfazer
para quaisquer
. Operadores com essa propriedade chamam-se \emph{isometrias} ou \emph{operadores ortogonais/unitários} (dependendo do corpo).
Passo 3
Um operador linear genérico não garante
a partir de
, pois ele pode “mudar” ângulos e comprimentos. Logo, em geral a afirmação é falsa.
Passo 4
Contraexemplo em
com o produto interno usual e vetores
Defina
Então
é linear e
mas
Logo,
e
não são ortogonais, embora
.
Resposta
F
A afirmação é falsa.
A afirmação é falsa.