Classifique as seguintes afirmações abaixo como V (verdadeiras) ou F (falsa):
Se T : V
é uma transformação linear não singular, então T é sobrejetora.
Se T : V
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a afirmação: “Se
é uma transformação linear não singular, então
é sobrejetora.” Aqui “não singular” significa
, ou seja,
é injetiva. Queremos ver se toda injetiva é também sobrejetiva.
Passo 2
Usamos o Teorema do Núcleo e da Imagem (Teorema da Dimensão):
Como
, temos
e portanto
Passo 3
A imagem
é um subespaço de
com dimensão igual a
. Para que
(ou seja, para
ser sobrejetora) seria necessário
. Mas o enunciado não exige
, então em geral não se garante sobrejeção.
Passo 4
Contraexemplo concreto: seja
Então
, logo
é injetiva, mas
. Ou seja, não é sobrejetora.
Resposta
F