Classifique as seguintes afirmações abaixo como V (verdadeiras) ou F (falsa):
Se T : V W é uma transformação linear não singular, então T é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a afirmação: “Se T:Vto W é uma transformação linear não singular, então T é sobrejetora.” Aqui “não singular” significa ker T=0, ou seja, T é injetiva. Queremos ver se toda injetiva é também sobrejetiva.

Passo 2

Usamos o Teorema do Núcleo e da Imagem (Teorema da Dimensão):
dim V ;=;dimker T;+;dimimT
Como ker T=0, temos dimker T=0 e portanto
dimimT ;=;dim V

Passo 3

A imagem imT é um subespaço de W com dimensão igual a dim V. Para que imT=W (ou seja, para T ser sobrejetora) seria necessário dim V=dim W. Mas o enunciado não exige dim V=dim W, então em geral não se garante sobrejeção.

Passo 4

Contraexemplo concreto: seja
T: R^2to R^3, T(x,y)=(x,y,0)
Então ker T=(0,0), logo T é injetiva, mas imT=(x,y,0)neq R^3. Ou seja, não é sobrejetora.

Resposta

F

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