Prove que F=f é uma função mid f: R R com as operações indicados abaixo é um espaço vetorial.
Soma (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x)
Produto escalar (alpha f)(x)=alpha f(x)

Passo 1

O enunciado pede para provar que
F=,fmid fcolon RtoR
com as operações
,(f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x)
e
,(alpha f)(x)=alpha,f(x)
é espaço vetorial sobre o corpo R.
Vamos verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso aditivo, associatividade e identidade na multiplicação escalar, e as duas leis distributivas.

Passo 2

Fechamento sob adição e multiplicação escalar:
Sejam f1,f2in F. Defina f=f1+f2 por
f(x)=f1(x)+f2(x)
Como soma de reais é real, fcolonRtoR, logo fin F.
Seja alphainR e fin F. Defina g=alpha f por
g(x)=alpha,f(x)
Como produto de reais é real, gcolonRtoR, logo gin F.

Passo 3

Comutatividade e associatividade da adição:
Para todos f1,f2,f3in F e todo xinR temos
(f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x)=f2(x)+f1(x)=(f2+f1)(x),
logo f1+f2=f2+f1.
Também
l((f1+f2)+f3r)(x) =(f1(x)+f2(x))+f3(x) =f1(x)+(f2(x)+f3(x)) =(f1+(f2+f3))(x),
logo (f1+f2)+f3=f1+(f2+f3).

Passo 4

Elemento neutro e inverso aditivo:
Defina a função zero ,0in F por 0(x)=0 para todo x. Então
(f+0)(x)=f(x)+0=f(x),
logo f+0=f.
Para cada fin F defina -fin F por (-f)(x)=-f(x). Então
(f+(-f))(x)=f(x)+(-f(x))=0,
logo f+(-f)=0.

Passo 5

Propriedades da multiplicação escalar:
Para todos alpha,betainR e f,f1,f2in F vale
;l((alphabeta)fr)(x)=(alphabeta)f(x)=alphal(beta f(x)r) =l(alpha(beta f)r)(x), logo (alphabeta)f=alpha(beta f).
Além disso
(1cdot f)(x)=1cdot f(x)=f(x),
logo 1cdot f=f.
E as distribuições:
((alpha+beta)f)(x)=(alpha+beta)f(x)=alpha f(x)+beta f(x) =(alpha f+beta f)(x),
(alpha(f1+f2))(x)=alphal(f1(x)+f2(x)r) =alpha f1(x)+alpha f2(x) =(alpha f1+alpha f2)(x)

Passo 6

Como todos os axiomas de espaço vetorial sobre R estão satisfeitos, concluímos que F é um espaço vetorial.

Resposta

F é um espaço vetorial sobre R.

Exercícios relacionados