Prove que
é uma função
com as operações indicados abaixo é um espaço vetorial.
Soma
Produto escalar
Soma
Produto escalar
Passo 1
O enunciado pede para provar que
com as operações
e
é espaço vetorial sobre o corpo .
Vamos verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso aditivo, associatividade e identidade na multiplicação escalar, e as duas leis distributivas.
com as operações
e
é espaço vetorial sobre o corpo
Vamos verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso aditivo, associatividade e identidade na multiplicação escalar, e as duas leis distributivas.
Passo 2
Fechamento sob adição e multiplicação escalar:
Sejam . Defina
por
Sejam
Como soma de reais é real,
, logo
.
Seja e
. Defina
por
Seja
Como produto de reais é real,
, logo
.
Passo 3
Comutatividade e associatividade da adição:
Para todos e todo
temos
Para todos
logo
.
Também
Também
logo
.
Passo 4
Elemento neutro e inverso aditivo:
Defina a função zero por
para todo
. Então
Defina a função zero
logo
.
Para cada defina
por
. Então
Para cada
logo
.
Passo 5
Propriedades da multiplicação escalar:
Para todos e
vale
, logo
.
Além disso
Para todos
Além disso
logo
.
E as distribuições:
E as distribuições:
Passo 6
Como todos os axiomas de espaço vetorial sobre
estão satisfeitos, concluímos que
é um espaço vetorial.