AVALIE AS AFIRMAÇÕES EM VERDADEIRAS OU FALSAS
Considere (
) o produto interno em um espaço vetorial
.
a)
?
b)
?
c)
então
?
d) se os vetores
geram um subespaço
e
se
então
chamado subespaço ortogonal a
?
e)
? f) para todo
?
g) se
então
?
h) suponha que
seja um vetor ortogonal aos vetores
ev. então
?
a)
b)
c)
então
d) se os vetores
se
e)
g) se
h) suponha que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente avaliar se algumas afirmações sobre produto interno em um espaço vetorial são verdadeiras ou falsas. Pra isso, vamos precisar entender o que é produto interno, norma de um vetor, e algumas propriedades básicas desses conceitos. Vamos analisar cada afirmação passo a passo.
Passo 2
a)
?
Sim, essa afirmação é verdadeira! Por definição, o produto interno de um vetor com ele mesmo é igual ao quadrado da sua norma. Ou seja,
.
Passo 3
b)
?
Também é verdadeira! Uma das propriedades do produto interno é a linearidade no primeiro argumento. Então, multiplicar um vetor por um escalar
antes de fazer o produto interno é o mesmo que multiplicar o resultado do produto interno por
:
Passo 4
c) Se
, então
?
Vamos entender isso. A distância
é dada por
. Se
, então ao expandir os quadrados das normas e simplificar, chegamos à conclusão de que
. Então, sim, a afirmação é verdadeira:
e
são perpendiculares.
Passo 5
d) Se os vetores
geram um subespaço
e se
para todo
, então
chamado subespaço ortogonal a
?
Verdadeiro! Se
é perpendicular a cada vetor que gera
, então ela é perpendicular a qualquer combinação linear desses vetores, ou seja,
.
Passo 6
e)
?
Vamos calcular:
Então:
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 7
f) Para todo
?
Falso! A norma de
é
, não
. Ou seja, se
for negativo, a igualdade não vale.
Passo 8
g) Se
então
?
Verdadeiro! Expandindo a norma do lado direito:
Igualando com o lado esquerdo:
Cancelando os termos iguais:
Logo,
, ou seja,
.
Passo 9
h) Suponha que
seja um vetor ortogonal aos vetores
e
. Então,
?
Vamos verificar:
Como
e
, ambos os produtos internos são zero:
Então,
é verdadeiro.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Verdadeira
f) Falsa
g) Verdadeira
h) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Verdadeira
f) Falsa
g) Verdadeira
h) Verdadeira