AVALIE AS AFIRMAÇÕES EM VERDADEIRAS OU FALSAS
Considere ( u, v ) o produto interno em um espaço vetorial V.
a) (v, v)=|v|^2 ?
b) (c v, v)=c(v, v) ?
c) se d(u, v)=d(u,-v)
então u perp v ?
d) se os vetores v1, v2, v3, ldots, vp geram um subespaço W e
se w perp vj, 1 <= j <= p então w in W^perp chamado subespaço ortogonal a W ?
e) (u, raiz2 v)-(raiz2 u, v)=0 ? f) para todo lambda in R,|lambda v|=lambda|v| ?
g) se |u|^2+|v|^2=|u+v|^2 então u perp v ?
h) suponha que y seja um vetor ortogonal aos vetores u ev. então y perp(27 u-raiz23 v) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente avaliar se algumas afirmações sobre produto interno em um espaço vetorial são verdadeiras ou falsas. Pra isso, vamos precisar entender o que é produto interno, norma de um vetor, e algumas propriedades básicas desses conceitos. Vamos analisar cada afirmação passo a passo.

Passo 2

a) (v, v) = |v|^2?
Sim, essa afirmação é verdadeira! Por definição, o produto interno de um vetor com ele mesmo é igual ao quadrado da sua norma. Ou seja, (v, v) = |v|^2.

Passo 3

b) (c v, v) = c(v, v)?
Também é verdadeira! Uma das propriedades do produto interno é a linearidade no primeiro argumento. Então, multiplicar um vetor por um escalar c antes de fazer o produto interno é o mesmo que multiplicar o resultado do produto interno por c:
(c v, v) = c(v, v)

Passo 4

c) Se d(u, v) = d(u, -v), então u perp v?
Vamos entender isso. A distância d(u, v) é dada por |u - v|. Se |u - v| = |u + v|, então ao expandir os quadrados das normas e simplificar, chegamos à conclusão de que (u, v) = 0. Então, sim, a afirmação é verdadeira: u e v são perpendiculares.

Passo 5

d) Se os vetores v1, v2, v3, ldots, vp geram um subespaço W e se w perp vj para todo 1 <= j <= p, então w in W^perp chamado subespaço ortogonal a W?
Verdadeiro! Se w é perpendicular a cada vetor que gera W, então ela é perpendicular a qualquer combinação linear desses vetores, ou seja, w in W^perp.

Passo 6

e) (u, raiz2 v) - (raiz2 u, v) = 0?
Vamos calcular:
(u, raiz2 v) = raiz2 (u, v)
(raiz2 u, v) = raiz2 (u, v)
Então:
raiz2 (u, v) - raiz2 (u, v) = 0
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 7

f) Para todo lambda in R, |lambda v| = lambda|v|?
Falso! A norma de lambda v é |lambda||v|, não lambda|v|. Ou seja, se lambda for negativo, a igualdade não vale.

Passo 8

g) Se |u|^2 + |v|^2 = |u + v|^2 então u perp v?
Verdadeiro! Expandindo a norma do lado direito:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2(u, v) + |v|^2
Igualando com o lado esquerdo:
|u|^2 + |v|^2 = |u|^2 + 2(u, v) + |v|^2
Cancelando os termos iguais:
0 = 2(u, v)
Logo, (u, v) = 0, ou seja, u perp v.

Passo 9

h) Suponha que y seja um vetor ortogonal aos vetores u e v. Então, y perp(27 u - raiz23 v)?
Vamos verificar:
(y, 27 u - raiz23 v) = 27 (y, u) - raiz23 (y, v)
Como y perp u e y perp v, ambos os produtos internos são zero:
27 times 0 - raiz23 times 0 = 0
Então, y perp(27 u - raiz23 v) é verdadeiro.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Verdadeira
f) Falsa
g) Verdadeira
h) Verdadeira

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