é o espaço vetorial composto pelas funções reais contínuas em
com as operações naturais de soma de funções e multiplicação por número real. Definindo por função par uma função
, tal que
para todo
, e
como o conjunto formado pelas funções pares, identifique a afirmação correta.
Escolha uma opção:
a. F não é fechado em relação à soma.
b.
não
.
C.
.
23/07/2020 09:28
d. F não é fechado em relação à multiplicação por número real.
e.
.
a. F não é fechado em relação à soma.
b.
C.
d. F não é fechado em relação à multiplicação por número real.
e.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um espaço vetorial
formado pelas funções contínuas reais em
, onde a soma de funções e a multiplicação por um número real são as operações normais que conhecemos. A questão fala sobre funções pares, que são aquelas que satisfazem
para todo
em
. O conjunto
é formado por todas essas funções pares. Agora, precisamos analisar qual das afirmações (a, b, c, d ou e) está correta sobre esse conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser “fechado” em relação a uma operação. No contexto de espaços vetoriais:
- Fechado em relação à soma: Se você pegar duas funções no conjunto e somá-las, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado em relação à multiplicação por um número real: Se você multiplicar uma função do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos analisar cada opção uma por uma.
Passo 3
Opção a: F não é fechado em relação à soma.
Vamos testar isso. Se
e
são funções pares, então:
Isso mostra que a soma de duas funções pares também é uma função par. Portanto,
é fechado em relação à soma. Assim, a opção a está errada.
Passo 4
Opção b:
não está em
.
Vamos verificar se
é uma função par:
Como
,
é uma função par e, portanto, está em
. Logo, a opção b está errada.
Passo 5
Opção c:
não está em
.
Vamos verificar se
é uma função par:
Como
,
é uma função par e, portanto, está em
. Logo, a opção c está errada.
Passo 6
Opção d: F não é fechado em relação à multiplicação por número real.
Vamos testar isso. Se
é uma função par e
é um número real, então:
Isso mostra que multiplicar uma função par por um número real também resulta em uma função par. Portanto,
é fechado em relação à multiplicação por número real. Assim, a opção d está errada.
Passo 7
Opção e:
não está em
.
Vamos verificar se
é uma função par:
Aqui,
, o que caracteriza uma função ímpar, não par. Portanto,
não está em
. Logo, a opção e está correta.
Resposta
A opção e.
é a correta.