E é o espaço vetorial composto pelas funções reais contínuas em R com as operações naturais de soma de funções e multiplicação por número real. Definindo por função par uma função f in E, tal que f(-x)=f(x) para todo x in R, e F como o conjunto formado pelas funções pares, identifique a afirmação correta.
Escolha uma opção:
a. F não é fechado em relação à soma.
b. f(x)=x^2 não notin F.
C. f(x)=cos (x) notin F.
23/07/2020 09:28
d. F não é fechado em relação à multiplicação por número real.
e. f(x)=x^3 notin F.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um espaço vetorial E formado pelas funções contínuas reais em R , onde a soma de funções e a multiplicação por um número real são as operações normais que conhecemos. A questão fala sobre funções pares, que são aquelas que satisfazem f(-x) = f(x) para todo x em R . O conjunto F é formado por todas essas funções pares. Agora, precisamos analisar qual das afirmações (a, b, c, d ou e) está correta sobre esse conjunto F .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser “fechado” em relação a uma operação. No contexto de espaços vetoriais:
  • Fechado em relação à soma: Se você pegar duas funções no conjunto e somá-las, o resultado também deve estar no conjunto.
  • Fechado em relação à multiplicação por um número real: Se você multiplicar uma função do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos analisar cada opção uma por uma.

Passo 3

Opção a: F não é fechado em relação à soma.
Vamos testar isso. Se f e g são funções pares, então:
(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x)
Isso mostra que a soma de duas funções pares também é uma função par. Portanto, F é fechado em relação à soma. Assim, a opção a está errada.

Passo 4

Opção b: f(x) = x^2 não está em F .
Vamos verificar se f(x) = x^2 é uma função par:
f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)
Como f(-x) = f(x) , f(x) = x^2 é uma função par e, portanto, está em F . Logo, a opção b está errada.

Passo 5

Opção c: f(x) = cos(x) não está em F .
Vamos verificar se f(x) = cos(x) é uma função par:
f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x)
Como f(-x) = f(x) , f(x) = cos(x) é uma função par e, portanto, está em F . Logo, a opção c está errada.

Passo 6

Opção d: F não é fechado em relação à multiplicação por número real.
Vamos testar isso. Se f é uma função par e c é um número real, então:
(cf)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot f(x) = (cf)(x)
Isso mostra que multiplicar uma função par por um número real também resulta em uma função par. Portanto, F é fechado em relação à multiplicação por número real. Assim, a opção d está errada.

Passo 7

Opção e: f(x) = x^3 não está em F .
Vamos verificar se f(x) = x^3 é uma função par:
f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)
Aqui, f(-x) = -f(x) , o que caracteriza uma função ímpar, não par. Portanto, f(x) = x^3 não está em F . Logo, a opção e está correta.

Resposta

A opção e. f(x) = x^3 notin F é a correta.

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