Quais palavras você usaria para descrever cada uma dessas classes de matrizes? Dê um exemplo 3 times 3 para cada uma. Qual matriz pertence às quatro classes?
(a) ai j=0 se i neq j
(b) ai j=0 se i<j
(c) ai j=aj i
(d) ai j=a1 j

Passo 1

O enunciado pede para identificar quatro classes de matrizes especiais e dar um exemplo 3times3 para cada uma. As quatro classes são:
,(a) matrizes diagonais, ,(b) matrizes triangulares inferiores, ,(c) matrizes simétricas e ,(d) matrizes cujas linhas são todas iguais à primeira.

Passo 2

Classe (a): a condição
aij=0se ineq j
define as matrizes diagonais, em que só os elementos da diagonal principal podem ser não nulos.
Exemplo 3times3:
A= 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

Passo 3

Classe (b): a condição
aij=0se i<j
define as matrizes triangulares inferiores, pois todos os elementos acima da diagonal principal são zero.
Exemplo 3times3:
B= 1 & 0 & 0 4 & 5 & 0 6 & 7 & 8

Passo 4

Classe (c): a condição
aij=aji
define as matrizes simétricas, que coincidem com sua transposta.
Exemplo 3times3:
C= 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6

Passo 5

Classe (d): a condição
aij=a1j
significa que todas as linhas são iguais à primeira.
Exemplo 3times3:
D= 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3

Passo 6

Para pertencer às quatro classes simultaneamente, uma matriz deve ser diagonal (logo todos os não-diagonais são zero) e ainda ter todas as linhas iguais. A única forma de conciliar isso é fazer todos os elementos zero.

Resposta

A única matriz 3times3 que pertence às quatro classes é a matriz nula:
0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

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