Mostre que (A+B)^2 é diferente de A^2+2 A B+B^2, quando
A=[ll 1 & 2 0 & 0 ], B=[ll 1 & 0 3 & 0 ]
Escreva a regra correta para (A+B)(A+B)=A^2+ +B^2.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes
A=1 & 20 & 0 e B=1 & 03 & 0
e pede para mostrar que, em geral,
(A+B)^2neq A^2+2AB+B^2
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e a não comutatividade em geral de A e B.

Passo 2

Vamos primeiro calcular
A+B=1+1 & 2+00+3 & 0+0 =2 & 23 & 0

Passo 3

Agora computamos
(A+B)^2=(A+B)(A+B) =2 & 23 & 0 2 & 23 & 0
Fazendo o produto:
(A+B)^2 = 2cdot2+2cdot3 & 2cdot2+2cdot0 3cdot2+0cdot3 & 3cdot2+0cdot0 =10 & 46 & 6

Passo 4

Em seguida, calculamos as parcelas da expansão “usual”:
A^2 =1 & 20 & 0 1 & 20 & 0 =1 & 20 & 0,
B^2 =1 & 03 & 0 1 & 03 & 0 =1 & 03 & 0,
AB =1 & 20 & 0 1 & 03 & 0 =7 & 00 & 0, BA =1 & 03 & 0 1 & 20 & 0 =1 & 23 & 6

Passo 5

Agora montamos
A^2+2AB+B^2 =1 & 20 & 0 +27 & 00 & 0 +1 & 03 & 0 =16 & 23 & 0
Esse resultado é diferente de ,(A+B)^2=10&46&6.

Passo 6

Concluímos que (A+B)^2neq A^2+2AB+B^2 porque em geral ABneq BA. A regra correta para expandir (A+B)(A+B) é levar em conta ambos os produtos mistos:

Resposta

(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2

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