Considere os vetores:
Seja
a matriz cujas colunas são os vetores acima, na ordem em que foram descritos.
Dimensão do espaço gerado por
e
.
Dimensão do espaço gerado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta quatro vetores:
E uma matriz
cujas colunas são esses vetores nessa ordem. A pergunta é: qual é a dimensão do espaço gerado pelos vetores
e
.
Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e dimensões, conceitos da álgebra linear. Para descobrir a dimensão do espaço gerado por
e
, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o espaço gerado por dois vetores. O espaço gerado por
e
é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Matematicamente, isso é representado por:
A dimensão desse espaço é igual ao número de vetores na maior coleção de vetores linearmente independentes dentro dele.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
e
são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Observando os vetores:
Percebemos que:
Isso significa que
é apenas uma cópia de
. Portanto,
e
são linearmente dependentes.
Passo 4
Como
e
são linearmente dependentes, o espaço que eles geram não precisa de dois vetores para ser descrito; na verdade, um único vetor já é suficiente para descrever todo o espaço.
Isso implica que o espaço gerado por
e
é 1-dimensional.
Resposta
A dimensão do espaço gerado por
e
é 1.