Considere os vetores:
V1=(1,1,0), V2=(0,1,1), V3=(4,-3,-7), V4=(0,1,1)
Seja A a matriz cujas colunas são os vetores acima, na ordem em que foram descritos.
Dimensão do espaço gerado por V2 e V4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta quatro vetores:
V1=(1,1,0), V2=(0,1,1), V3=(4,-3,-7), V4=(0,1,1)
E uma matriz A cujas colunas são esses vetores nessa ordem. A pergunta é: qual é a dimensão do espaço gerado pelos vetores V2 e V4 .
Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e dimensões, conceitos da álgebra linear. Para descobrir a dimensão do espaço gerado por V2 e V4 , precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o espaço gerado por dois vetores. O espaço gerado por V2 e V4 é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Matematicamente, isso é representado por:
SpanV2, V4 = a V2 + b V4 mid a, b in R
A dimensão desse espaço é igual ao número de vetores na maior coleção de vetores linearmente independentes dentro dele.

Passo 3

Agora, vamos verificar se V2 e V4 são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Observando os vetores:
V2 = (0,1,1) e V4 = (0,1,1)
Percebemos que:
V4 = 1 cdot V2
Isso significa que V4 é apenas uma cópia de V2 . Portanto, V2 e V4 são linearmente dependentes.

Passo 4

Como V2 e V4 são linearmente dependentes, o espaço que eles geram não precisa de dois vetores para ser descrito; na verdade, um único vetor já é suficiente para descrever todo o espaço.
Isso implica que o espaço gerado por V2 e V4 é 1-dimensional.

Resposta

A dimensão do espaço gerado por V2 e V4 é 1.

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