Dado
. Encontre
e
.
Dado
. Encontre
e
.
Dado
. Encontre
e
.
Dado
. Encontre
e
.
Dado
. Encontre
.
Passo 1
Vou listar claramente cada subitem do enunciado e as informações fornecidas (sem resolver ainda):
- Dados:
-
, -
, -
.
Pedirame .
- Dados:
-
, -
, -
, -
.
Pedirame .
- Dados:
-
, -
, -
.
Pedirame .
- Dados:
-
, -
, -
, -
.
Pedirame .
- Dados:
-
, -
, -
, -
.
Pedirame .
Passo 2
Vou resolver o item 1 passo a passo. Regra utilizada: regra da cadeia para derivadas parciais. Defino
e
. A regra da cadeia diz:
Agora calculo cada derivada parcial necessária.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais internas para o item 1:
- Como
, . Aplicando :
Derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora monto as derivadas pedidas (item 1) usando as fórmulas da cadeia:
Fatorando
:
Substituo
e
e simplifico:
Portanto
Passo 5
Faço o mesmo para
(item 1):
Substituindo
:
Portanto
Passo 6
Vou resolver o item 2. Função
. Regra da cadeia (três variáveis internas):
Calculo
e as derivadas de
.
Passo 7
Derivadas necessárias (item 2):
Derivadas internas:
Agora calculo
:
Substituindo
:
Passo 8
Calculo
(item 2):
Substituindo
:
Portanto
.
Passo 9
Vou resolver o item 3. Função
. Novamente regra da cadeia:
Defino e
. Então
Defino
e
.
As derivadas de em função de
:
.
As derivadas de
Passo 10
Calculo
(item 3):
Simplifico o parêntese:
. Logo
Substituo
se quiser a expressão totalmente em
. O argumento é
Passo 11
Calculo
(item 3):
Simplificando:
. Assim
com
substituídos conforme dado se necessário.
Passo 12
Vou resolver o item 4. Função
. Defino
, então
e
Cálculo as derivadas parciais de
em relação a
:
Passo 13
Calculo
(item 4):
Substituindo
:
portanto
Passo 14
Calculo
(item 4):
Substituindo
:
Agrupando:
Logo
Passo 15
Vou resolver o item 5. Função
. Regra da cadeia:
Calculo
e as derivadas internas.
Passo 16
Derivadas necessárias (item 5):
Derivadas de
:
Passo 17
Calculo
(item 5):
Substituindo
:
Pode também escrever como
.
Passo 18
Calculo
(item 5):
Substituindo
:
Resposta
-
com
-
com